Nucleo e Immagine di una proiezione
Ciao a tutti!
Sto avendo qualche difficoltà col seguente esercizio:
Dimostra che per un endomorfismo \(\displaystyle \Pi : V\rightarrow V \) tale che \(\displaystyle \Pi^2=\Pi \) (proiezione),
\(\displaystyle \text{Ker}(\Pi)\oplus\text{Im}(\Pi)=V \), dove\(\displaystyle \oplus \) indica la somma diretta tra sottospazi.
Cominciamo:
Dalla formula di Grassmann
\(\displaystyle dim(\text{Ker})+dim(\text{Im})=dim(\text{Ker+Im})+dim(\text{Ker}\cap\text{Im}) \).
D'altronde, dal teorema rango+nullità/fondamentale delle applicazioni lineari/ciccioformaggio:
\(\displaystyle dim(V)=dim(\text{Im})+dim(\text{Ker}) \).
Eguagliando, troviamo che perchè la tesi sia vera ci basta che l'intersezione di Nucleo e Immagine sia banale.
Supponiamo allora, per assurdo, che esista un certo vettore \(\displaystyle u \) non nullo la cui immagine (diversa da 0) \(\displaystyle \Pi(u)\in\text{Im} \) appartenga anche al Nucleo.
Allora possiamo finalmente usare la definizione di proiezione:
\(\displaystyle \Pi(u)=\Pi(\Pi(u))=0_{V} \). Assurdo. Dunque [nota](e questo è il passaggio di cui non sono convinto, temo ci sia da dimostrare qualcos'altro partendo da un vettore del nucleo)[/nota] l'unico vettore nell'intersezione è il vettore nullo.
Che ne pensate?
Sto avendo qualche difficoltà col seguente esercizio:
Dimostra che per un endomorfismo \(\displaystyle \Pi : V\rightarrow V \) tale che \(\displaystyle \Pi^2=\Pi \) (proiezione),
\(\displaystyle \text{Ker}(\Pi)\oplus\text{Im}(\Pi)=V \), dove\(\displaystyle \oplus \) indica la somma diretta tra sottospazi.
Cominciamo:
Dalla formula di Grassmann
\(\displaystyle dim(\text{Ker})+dim(\text{Im})=dim(\text{Ker+Im})+dim(\text{Ker}\cap\text{Im}) \).
D'altronde, dal teorema rango+nullità/fondamentale delle applicazioni lineari/ciccioformaggio:
\(\displaystyle dim(V)=dim(\text{Im})+dim(\text{Ker}) \).
Eguagliando, troviamo che perchè la tesi sia vera ci basta che l'intersezione di Nucleo e Immagine sia banale.
Supponiamo allora, per assurdo, che esista un certo vettore \(\displaystyle u \) non nullo la cui immagine (diversa da 0) \(\displaystyle \Pi(u)\in\text{Im} \) appartenga anche al Nucleo.
Allora possiamo finalmente usare la definizione di proiezione:
\(\displaystyle \Pi(u)=\Pi(\Pi(u))=0_{V} \). Assurdo. Dunque [nota](e questo è il passaggio di cui non sono convinto, temo ci sia da dimostrare qualcos'altro partendo da un vettore del nucleo)[/nota] l'unico vettore nell'intersezione è il vettore nullo.
Che ne pensate?
Risposte
Non hai proceduto per assurdo: hai dimostrato che se un v sta nell’intersezione tra nucelo e immagine di \(\Pi\) dev’essere v=0. È la cosa giusta da fare.
"sphyr":
Che ne pensate?
Che è totalmente sballato.
La prima osservazione è che il tuo ragionamento vale per qualsiasi endomorfismo. Puoi riscriverlo pari pari sostenendolo per un generico endomorfismo $Phi: V->V$
La seconda osservazione è che questo accade perchè il ragionamento in se è sballato dato che mischi il concetto di dimensione di due spazi con il concetto di basi dei due spazi. Praticamente stai sostenendo che due sottospazi vettoriali siano in somma diretta solo perchè la somma delle loro dimensioni è pari a $dim(V)$.
Prova con questa matrice (che ho costruito appositamente per te):
$ A=( ( 1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ),( -1 , 1 , -1 ) ) $
Trova una base per $ker(A)$ e $Im(A)$ e dimmi se i due spazi vettoriali sono in somma diretta.
"arnett":
No, sta dicendo che sono in somma diretta perché la loro intersezione è il vettore nullo, grazie al fatto che l'endomorfismo è idempotente, e questo è assolutamente corretto.
Spiegati meglio.
Ha scritto $Pi(u)=Pi(Pi(u))=0_v$ e basta. Esiste un teorema riguardo gli endomorfismi idempotenti che doveva invocare?
Il modo più semplice per provare la tesi è che una matrice di proiezione è sempre diagonalizzabile con autovalori 1,0. L'autospazio corrispondente all'autovalore 1 è il sottospazio su cui avviene la proiezione, quindi è l'immagine dell'endomorfismo. L'autospazio collegato all'autovalore 0 è il kernel.
"arnett":
Lo ha detto, è stato solo un po' più sintetico di me.
Così ha assai senso, grazie.
Ma chiamalo "sintetico"...
"Bokonon":
[quote="sphyr"]
Che ne pensate?
Che è totalmente sballato.
La prima osservazione è che il tuo ragionamento vale per qualsiasi endomorfismo. Puoi riscriverlo pari pari sostenendolo per un generico endomorfismo $ Phi: V->V $
La seconda osservazione è che questo accade perchè il ragionamento in se è sballato dato che mischi il concetto di dimensione di due spazi con il concetto di basi dei due spazi. Praticamente stai sostenendo che due sottospazi vettoriali siano in somma diretta solo perchè la somma delle loro dimensioni è pari a $ dim(V) $.
Prova con questa matrice (che ho costruito appositamente per te):
$ A=( ( 1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ),( -1 , 1 , -1 ) ) $
Trova una base per $ ker(A) $ e $ Im(A) $ e dimmi se i due spazi vettoriali sono in somma diretta.[/quote]
Innanzitutto ti ringrazio per la splendida matrice
Però ho semplicemente applicato la definizione di somma diretta (nota che, neppure troppo implicitamente, richiedo che l'intersezione di Ker e Immagine sia banale) certamente dando per buoni alcuni risultati sul concetto di dimensione. Grazie a entrambi per l'input, comunque!
Ora torno nel mio antro che sennò il capitolo sul determinante non lo finirò mai
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