Nucleo e Immagine di una funzione

[Ali_s]

Buongiorno a tutti,
ho il seguente esercizio da risolvere:
Sia $f:R^3->R^4$ tale che $f(x1,x2,x3)=(x1,0,x3,0)$. (con x1, x2... intendo i numeri come pedici, non ho capito come scriverli qui)
-Dire se $f$ è lineare
-Trovare Imm(f) e la dimensione del sottospazio
-Trovare ker(f) e la dimensione del sottospazio.

Ora ho i risolto i prime due punti, in particolare come $Imm(f)$ ho ottenuto $(1,0,0,0) ,(0,0,1,0)$ e per trovare la dimensione ho lavorato con il teorema dimensionale: $dim(R^3)=dim(Imm(f))+dim(ker(f))$ ottenendo $3=2+x$ con $x=1$.
Da qui so che il $Ker(f)$ deve avere dimensione 1, so che si trova ponendo $Ax=0$ dove $A$ è la matrice associata al sistema, ma in questo caso, non so perchè, non riesco nemmeno a impostare il sistema.
Qualcuno è in grado di dirmi se $Imm(f)$ trovata è giusta e di aiutarmi a trovare $ker(f)$?

[niccoset]

la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alle basi canoniche è:
$A = [ ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) ] $
Già da qui si vede subito che l'immagine è quella trovata da te che, come hai scritto, ha dimensione pari a 2.
Il nucleo (o ker) lo trovi risolvendo $ Ax=0 $ ovvero $ [ ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) ] [ ( x_1 ),( x_2 ),( x_3 ) ] =[ ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ] $ .
Ottieni che le soluzioni sono del tipo $ (0,x_2,0)=x_2(0,1,0) $ quindi $ Ker(f)=Span{(0,1,0)} $ che in accordo con le ipotesi ha dimensione 1.