Nucleo e immagine di una applicazione lineare

[giuliacarlino1993]

In uno spazio vettoriale di dimensione 3 ho una base formata dai vettori $ a $ $ b $ $ c $. E' data inoltre l'applicazione lineare $ T:Vrarr V $ tale che $ T(a)=2a-b $ $ T(b)=a-c $ e $ T(c)=-b+2c $ . Devo determinare la dimensione e una base del nucleo di $ T $ , la dimensione e una base dell'immagine e stabilire se il nucleo e l'immagine sono in somma diretta.
Vorrei sapere se è giusto il mio ragionamento. So che un elemento appartiene al ker quando la sua immagine mediante l'applicazione è zero. Quindi ho scritto il sistema $ T{ ( 2a-b=0 ),( a-c=0 ),( -b+2c=0 ):} $. Risolvendo ho ottenuto che la dimensione è tre e ho trovato generatori. A questo punto però mediante il teorema del rango deduco che l'immagine ha dimensione zero, il che non mi sembra molto logico. Potreste dirmi cosa sbaglio??

[Pierlu11]

Da come hai scritto e impostato il sistema sembra che consideri $ a,b,c $ come dei parametri invece di vederli come vettori... comunque eguagliare a zero l'immagine di tre vettori particolari non ti darà di certo il nucleo dell'applicazione. A zero devi eguagliare l'immagine del GENERICO vettore $ alphaa+betab+gammac $ .
Per quanto riguarda l'immagine ricordati che $ rk(f)=r(M_{A,B}(f)) $ cioè ti basta calcolare il rango di una matrice associata all'applicazione (In questo caso, dal testo, hai gia scritta quella dalla base $ {a,b,c} $ alla base $ {a,b,c} $ ).

[giuliacarlino1993]

e allora come devo fare per trovare l'immagine del generico vettore??

[Pierlu11]

$ T(alphaa+betab+gammac)=alphaT(a)+betaT(b)+gammaT(c)=2alphaa-alphab+betaa-betac-gammab+2gammac $ . Raccogliendo i vettori della base hai l'immagine scritta come combinazione di $ {a,b,c} $ .