Nucleo e immagine di un endomorfismo
Salve ho un problema con un esercizio che il professore ha detto essere facilmente risolvibile con pochi ragionamenti:
Sia $f : M_3(R) -> M_3(R): A ->A +A^T$
a-)provare che f è lineare
b-) determinare kerf e Imf
Il punto a l'ho risolto facilmente. Per secondo punto ho provato a scrivermi una matrice fatta di lettere e a sommargli la sua trasposta ma non so proprio cosa fare dopo di questo. Ho cercato delle condizioni ma non ho concluso nulla. Qualcuno che mi aiuti per favore. Mi farebbe molto comodo se scriveste il vostro ragionamento e magari anche il motivo per cui avete adottato uno specifico approccio. Grazie mille a chi risponderà
Sia $f : M_3(R) -> M_3(R): A ->A +A^T$
a-)provare che f è lineare
b-) determinare kerf e Imf
Il punto a l'ho risolto facilmente. Per secondo punto ho provato a scrivermi una matrice fatta di lettere e a sommargli la sua trasposta ma non so proprio cosa fare dopo di questo. Ho cercato delle condizioni ma non ho concluso nulla. Qualcuno che mi aiuti per favore. Mi farebbe molto comodo se scriveste il vostro ragionamento e magari anche il motivo per cui avete adottato uno specifico approccio. Grazie mille a chi risponderà
Risposte
...non riesci nemmeno a calcolare il nucleo?
Mi permetto di dare un hint in più 
Cosa significa che $A + A^T=0$, o meglio che $A^T=-A$?
Cosa significa che $A + A^T=0$, o meglio che $A^T=-A$?
Facendo due conti rapidi mi viene che la matrice generica che soddisfa tali condizioni avrà sempre gli elementi della diagonale tutti nulli (traccia = 0) e gli elementi al di fuori della diagonale opposti. Perciò il kerf sono tutte le matrici antisimmetriche giusto?
usando la formula $dim = n(n-1)/2$ per la dimensione dello spazio delle matrici antisimm. mi trovo che $dimKerf=3$
e quindi $dim(Imf)=6$ . C'è anche un modo con cui posso trovarmi gli span del ker e dell'Im?
Edit: Ho appena notato, mentre facevo i conti, che sommando una matrice e la sua trasposta ottengo una matrice simmetrica. Perciò posso dire che l'$Imf$ sono tutte le matrici simmetriche giusto
e quindi $dim(Imf)=6$ . C'è anche un modo con cui posso trovarmi gli span del ker e dell'Im?
Edit: Ho appena notato, mentre facevo i conti, che sommando una matrice e la sua trasposta ottengo una matrice simmetrica. Perciò posso dire che l'$Imf$ sono tutte le matrici simmetriche giusto
Due commenti di chiusura:
1) una matrice quadrata ha traccia nulla se la somma dei suoi elementi sulla diagonale è nulla; il che è diverso dall'avere la diagonale nulla.
2) sì, per motivi di dimensione: l'immagine di \(\displaystyle f\) è lo spazio vettoriale delle matrici simmetriche.
1) una matrice quadrata ha traccia nulla se la somma dei suoi elementi sulla diagonale è nulla; il che è diverso dall'avere la diagonale nulla.
2) sì, per motivi di dimensione: l'immagine di \(\displaystyle f\) è lo spazio vettoriale delle matrici simmetriche.
Grazie a tutti e due ragazzi. Sì volevo dire che la traccia sarà sempre 0 perché gli elementi sulla diagonale son tutti nulli infatti l'ho messo tra parentesi, non le matrici con traccia uguale a zero. Ora correggo
Prego, di nulla! 
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