Nucleo e immagine di g composto f

[SimoneSc1]

Buonasera, avrei da svolgere questo esercizio, ma non so proprio come muovermi, potreste darmi un input e magari indicarmi anche che argomenti andarmi a riguardare per poterne svolgere di simili in autonomia?

Sia $f:RR^3\to RR^3$ l'endomorfismo la cui matrice associata rispetto alla base canonica $epsilon$ è la seguente:

$M\_(epsilon,\epsilon)(f)=((2,0,1),(0,2,1),(1,-1,0))$

Sia $g:RR^3\to RR^3$ l'endomorfismo la cui matrice associata rispetto alla base:

$\B=((1),(1),(0)), ((0),(1),(1)), ((1),(0),(1))$ è la seguente:

$M\_(B,\B)(g)=((0,1,1),(-1,2,0),(1,0,2))$

Determinare il nucleo e l'immagine di $g\circ f$

Mi scuso in anticipo per la genericità, ma non riesco a proporre un abbozzo di risoluzione perché non so proprio da dove partire. Grazie dell'aiuto e buona serata.

[AF2208]

Conosci la relazione che c'è tra il prodotto di matrici e la composizione di applicazioni lineari? L'unica cosa alla quale devi fare attenzione è che, nelle matrici che ti vengono fornite, base di arrivo di $f$ e base di partenza di $g$ non coincidono, quindi dovrai calcolare una delle due matrici nella stessa base dell'altra.
Una volta fatto ciò, puoi trovare la matrice associata a $g\circ f$ nella base che hai scelto, e ti sei ricondotto al problema di trovare una base del nucleo e una base dell'immagine di un'applicazione lineare di cui conosci la matrice associata rispetto a determinate basi.

[Bokonon]

Inizia studiando il cambio di base. E poi trova g rispetto alla base canonica.

[SimoneSc1]

"AF2208":Conosci la relazione che c'è tra il prodotto di matrici e la composizione di applicazioni lineari? L'unica cosa alla quale devi fare attenzione è che, nelle matrici che ti vengono fornite, base di arrivo di $ f $ e base di partenza di $ g $ non coincidono, quindi dovrai calcolare una delle due matrici nella stessa base dell'altra.
Una volta fatto ciò, puoi trovare la matrice associata a $ g\circ f $ nella base che hai scelto, e ti sei ricondotto al problema di trovare una base del nucleo e una base dell'immagine di un'applicazione lineare di cui conosci la matrice associata rispetto a determinate basi.

Io so che la moltiplicazione righe per colonne tra due matrici mi dà la composizione tra le due matrici (in base a come le moltiplico perché questa operazione non gode della proprietà commutativa).

Cerco di capire ciò che mi hai detto: la base di arrivo di $f$ è $\epsilon$ mentre la base di partenza di $g$ è $B$, dovrei quindi provare a calcolarmi la matrice di cambiamento di base da $B$ alla base canonica $\epsilon$? Oppure volendo l'opposto, è giusto?
Grazie della disponibilità.

[AF2208]

"SimoneSc":Io so che la moltiplicazione righe per colonne tra due matrici mi dà la composizione tra le due matrici (in base a come le moltiplico perché questa operazione non gode della proprietà commutativa)

Attenzione, quello che hai scritto non ha senso, perché la composizione non è una operazione tra matrici, ma tra applicazioni. E dicendolo così hai tralasciato il punto fondamentale: cosa c'entrano le basi? Ti dò una mano per arrivarci.
Siano $U,V,W$ spazi vettoriali sullo stesso campo, e siano $f: U \to \V,\quad g: V \to \W$ applicazioni lineari.

Fissate una base $B$ di $U$ e una base $C$ di $V$, indico con $M_C^B(f)$ la matrice associata ad $f$ nelle basi $B$ e $C$. Similmente, fissate una base $D$ di $V$ e una base $E$ di $W$, indico con $M_E^D(g)$ la matrice associata a $g$ nelle basi $D$ e $E$. Ora due domande:

1) Che relazione c'è tra il prodotto $M_E^D(g) \cdot M_C^B(f)$ e la composizione $g\circ f$?
2) Come cambia la risposta alla domanda precedente se le basi $C$ e $D$ sono uguali?

Finché non hai ben chiaro questo è inutile mettersi a fare calcoli.