Nucleo e Immagine di f??
Allora...sono giorni che sto cercando di capire una parte di questo esercizio sulle applicazioni lineari.
Sia $f$ l'app. li. così definita:
$f(x, y, x) = (x-y+3z, 2x-z, x+y-4z, 3x-y+2z)$
determinare:
a) una matrice associata a $f$, rispetto alle basi canoniche;
b) equazioni cartesiane, una base e la dimensione del $Kerf$;
c) equazioni parametriche di $Imf$ , una base e la dimensione di $Imf$;
d) se $f$ è iniettiva e /o suriettiva
io proseguo in questo modo.
a) trovo la matrice associata rispetto alle basi canoniche:
$ A = ((1, -1, 3), (2, 0, -1), (1, 1, -4), (3, -1, 2))$
(semplicemente essendo il caso in cui le basi sono quelle canoniche le righe della matrice a sono i coefficienti degli elementi di $f$ nella sua definizione).
b) per trovare il nucleo di $f$ devo trovare tutti i vettori che mediante $f$ si trasformano nel vettore nullo $0_v$.
quindi risolvo questo sistema lineare omogeneo la cui matrice associata è proprio $A$:
$S={(x-y+3z=0), (2x-z = 0), (x+y-4z = 0), (3x-y+2=0):}$
Il rango di $rho(A)$ è $2$, di conseguenza il sistema ammette infinite soluzioni $infty^1$ soluzioni
e una variabile libera dipenderà da un parametro reale $(alpha) in RR $
$S={(x = 1/2alpha), (y = 7/2alpha), (z = alpha):}$
la dimensione $dim(Kerf)$ è per definizione uguale alla dimensione del sottospazio delle soluzioni del sistema omogeneo $S$ dunque $dim (Kerf) = 1$
il generico elemento di $Kerf$ sarà $(1/2alpha, 7/2alpha, alpha)$
----------------
il problema è come determino una base di $Kerf$?
e poi cosa si intende per equazioni cartesiane del nucleo?
----------------
c) per trovare la dimensione dell' $Im(f)$ so che
$Im(f) = rho(a)$ quindi $dim(Im(f)) = 2$
----------------
come scrivo una base di $Imf$?
e poi cosa si intende per equazioni parametriche di $Im(f)$?
----------------
d) Infine per determinare se $f$ è iniettiva
controllo se il nucleo contiene il solo vettore nullo in questo caso $S$ ammette infinite soluzioni
dunque f non è iniettiva, ma non è neanche suriettiva perche $dim(Im(f))!=dim(R^4) $ e qui ho dei dubbi.....
vi chiedo gentilmente se potreste spiegarmi dove sbaglio, se procedo correttamente dei calcoli
e come trovare le basi e le equazioni parametriche e cartesiane di $Im(f) $ e $Ker(f)$.....Grazie
Sia $f$ l'app. li. così definita:
$f(x, y, x) = (x-y+3z, 2x-z, x+y-4z, 3x-y+2z)$
determinare:
a) una matrice associata a $f$, rispetto alle basi canoniche;
b) equazioni cartesiane, una base e la dimensione del $Kerf$;
c) equazioni parametriche di $Imf$ , una base e la dimensione di $Imf$;
d) se $f$ è iniettiva e /o suriettiva
io proseguo in questo modo.
a) trovo la matrice associata rispetto alle basi canoniche:
$ A = ((1, -1, 3), (2, 0, -1), (1, 1, -4), (3, -1, 2))$
(semplicemente essendo il caso in cui le basi sono quelle canoniche le righe della matrice a sono i coefficienti degli elementi di $f$ nella sua definizione).
b) per trovare il nucleo di $f$ devo trovare tutti i vettori che mediante $f$ si trasformano nel vettore nullo $0_v$.
quindi risolvo questo sistema lineare omogeneo la cui matrice associata è proprio $A$:
$S={(x-y+3z=0), (2x-z = 0), (x+y-4z = 0), (3x-y+2=0):}$
Il rango di $rho(A)$ è $2$, di conseguenza il sistema ammette infinite soluzioni $infty^1$ soluzioni
e una variabile libera dipenderà da un parametro reale $(alpha) in RR $
$S={(x = 1/2alpha), (y = 7/2alpha), (z = alpha):}$
la dimensione $dim(Kerf)$ è per definizione uguale alla dimensione del sottospazio delle soluzioni del sistema omogeneo $S$ dunque $dim (Kerf) = 1$
il generico elemento di $Kerf$ sarà $(1/2alpha, 7/2alpha, alpha)$
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il problema è come determino una base di $Kerf$?
e poi cosa si intende per equazioni cartesiane del nucleo?
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c) per trovare la dimensione dell' $Im(f)$ so che
$Im(f) = rho(a)$ quindi $dim(Im(f)) = 2$
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come scrivo una base di $Imf$?
e poi cosa si intende per equazioni parametriche di $Im(f)$?
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d) Infine per determinare se $f$ è iniettiva
controllo se il nucleo contiene il solo vettore nullo in questo caso $S$ ammette infinite soluzioni
dunque f non è iniettiva, ma non è neanche suriettiva perche $dim(Im(f))!=dim(R^4) $ e qui ho dei dubbi.....
vi chiedo gentilmente se potreste spiegarmi dove sbaglio, se procedo correttamente dei calcoli
e come trovare le basi e le equazioni parametriche e cartesiane di $Im(f) $ e $Ker(f)$.....Grazie
Risposte
Non ho tempo di controllare i tuoi conti, quindi li prendo per buoni.
La base del $Ker f$ sarà $(1,7,2)$ (basta estrarre il parametro $\alpha$. Ho anche moltiplicato il vettore che ottenevo per $2$ per averlo più bello). Per ottenere le eq. cartesiane devi eliminare il parametro $\alpha$ nelle eq. di $S$ (è facile visto che $z=\alpha$!).
Per $Im f$: le colonne della matrice sono suoi generatori. Prendi quelli linearmente indipendenti aiutandoti con il calcolo del rango della matrice. Le eq. parametriche sono come quelle sopra di $S$ che hai scritto, ovvero ci sono $k$ parametri liberi, dove $k$ è la dimensione dello spazio. Trovi la definizione di eq. cartesiane e parametriche in qualunque libro di Geometria.
L'applicazione come hai visto non è iniettiva. Non può essere suriettiva perché matrice $A$ può avere al massimo rango $3< dim(\mathbb{R}^4)$.
Paola
La base del $Ker f$ sarà $(1,7,2)$ (basta estrarre il parametro $\alpha$. Ho anche moltiplicato il vettore che ottenevo per $2$ per averlo più bello). Per ottenere le eq. cartesiane devi eliminare il parametro $\alpha$ nelle eq. di $S$ (è facile visto che $z=\alpha$!).
Per $Im f$: le colonne della matrice sono suoi generatori. Prendi quelli linearmente indipendenti aiutandoti con il calcolo del rango della matrice. Le eq. parametriche sono come quelle sopra di $S$ che hai scritto, ovvero ci sono $k$ parametri liberi, dove $k$ è la dimensione dello spazio. Trovi la definizione di eq. cartesiane e parametriche in qualunque libro di Geometria.
L'applicazione come hai visto non è iniettiva. Non può essere suriettiva perché matrice $A$ può avere al massimo rango $3< dim(\mathbb{R}^4)$.
Paola
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