Nucleo e Immagine

[andrew.9]

Buonasera ragà, mi potreste spiegare alcune cose sul nucleo e l'immagine? Allora, so che il nucleo di f, kerf, è l'insieme di tutti quegli elementi che hanno per immagine il vettore nullo, mentre l'immagine di f, Imf, è l'insieme formato da tutti gli elementi y del codominio tali che per ogni x appartenenti al dominio f(x)=y. Ora vorrei sapere come calcolre Kerf e Imf e come definire se una funzione è suriettiva e/o iniettiva. Grazie mille

Sia $f:RR^(2,2)->RR^3$ l'applicazione lineare così definita $f( ( x , y ),( z , t ) )=(x + y; y; z + t) $. Per trovare Kerf ho risolto il sistema $ { ( x+y=0 ),( y=0 ),( z+t=0 ):} $ e quindi esce $x=0,y=0,z=-t$. Il nucleo quindi è: $((0,0),(z,-z))$? E la sua base $((0,0),(1,-1))$ e la dimensione 1? E poi come si calcola l'immagine?

[paxpax92]

il nucleo è corretto,per trovare una base dell'immagine $(x+y,y,z+t)$ che si trova in questo modo: $x(1,0,0)+y(1,1,0)+z(0,0,1)$ poi penso tu sappia cosa fare anche se è gia praticamente risolto per stabile se f è iniettiva o suriettiva ti prego leggi la teoria sono 2 definizioni banali..

[andrew.9]

Ora bisogna vedere quali sono i vettori l.i. per l'immagine, giusto? Quindi tutti e tre i vettori? L'immagine sarebbe quindi: $(1,0,0)(1,1,0)(0,0,1)$ e questa è anche una sua base e la dimensione è 3. Pertanto quando la $dimImf=dimRR^3$ allora la funzione è suriettiva. Non è iniettiva perché Kerf non contiene il solo vettore nullo. Vero?