Nucleo e Immagine

[Eveeth]

Sia $F$: $R^3$ $ rarr $ $R^3$ l'applicazione lineare definita da F((2,1,1))=(-h,h,h), F((1,3,-2))=(-1,0,2h), F((1,1,1))=(-1,2,4h), dove h è un parametro reale. Per quali valori di h l'applicazione lineare F è iniettiva? Determinare, al variare di h, il nucleo e l'immagine di F.

[megaempire]

io farei cosi : sfruttando la chiusura rispetto alla somma e al prodotto mi troverei le immagini della base canonica,
ad esempio $F(2,1,1) - F(1,1,1) = F(1,0,0) = (-h,h,h) - ) - (-1,2,4h) =....$
e ti trovi la matrice associata dove comparirà anche h e da li discuti cosa succede

[Eveeth]

potresti spiegarti meglio??

[megaempire]

L'unico metodo che mi viene in mente per risolvere l'esercizio è costruire la matrice associata alla funzione. Sai come si costruisce?-----> ti servono le immagini della base, la funzione va da $R^3$ a $R^3$ per comodità scegli la base canonica $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ sia per lo spazio di arrivo che di partenza.(solo per pigrizia ma vanno bene tutte le basi ke vuoi).
stati studiando un applicazione lineare...cosa significa che un applicazione è lineare? ---> chiusa rispetto alla somma e al prodotto.
L'obbiettivo è costruirsi la matrice associata utilizzando queste informazioni :
$F((2,1,1))=(-h,h,h), F((1,3,-2))=(-1,0,2h), F((1,1,1))=(-1,2,4h)$
TI SERVONO LE IMMAGINI DI $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$

L'immagine di $(1,0,0)$ la trovi cosi :
$F(2,1,1) − F(1,1,1)= F(1,0,0) = (−h,h,h) − (−1,2,4h) = (1-h),(h-2),(h-4h)$
allora sulla prima colonna della matrice avrai :
$((1-h,x2,x3),(h-2,y2,y3),(h-4h,x2,x3))$
a questo punto devi trovarti le altre due immagine e hai la matrice e studi la funzione al variare del parametro h

[Eveeth]

grazie molto chiaro