Nucleo di un applicazione

[dario989]

Buongiorno a tutti. Vorrei cortesemente chiedere agli studiosi di Algebra se il nucleo di un applicazioni tra spazi vettoriali è definito anche nel caso in cui l'applicazione sia non lineare.
Ringrazio anticipatamente.

[isaac888]

Negli spazi vettoriali il nucleo può essere definito solo per applicazioni lineari se vogliamo che sia un sottospazio (e in genere lo vogliamo)! Comunque, in generale è possibile definirlo per omomorfismi (allo stesso modo!) fra gruppi (o strutture "meno ricche" ancora). Nel caso dei gruppi, il nucleo però sarebbe un sottogruppo del gruppo di partenza rispetto all'operazione di quest'ultimo.
Per poter definire il "nucleo", hai insomma bisogno che abbia senso almeno il concetto di elemento neutro nell'insieme d'arrivo.

Esempio: siano $G_1$ e $G_2$ due gruppi così definiti. $G_1=(\mathbb{R},+)$, $G_2=(\mathbb{R}^+,\cdot)$.
Definisco il seguente omomorfismo (non lineare!) fra gruppi: $\varphi : x \mapsto e^x$.
$Ker(\varphi)={x\in G_1|\varphi(x) =e_{G_2}}={x\in G_1|\varphi(x) =1}={0}={e_{G_1}}$
(dove $e_{G_2}$ è l'elemento neutro della moltiplicazione nel gruppo $G_2$, cioè $1$; mentre $e_{G_1}=0$ è l'elemento neutro della somma in $G_1$)

[dario989]

Perfetto, grazie mille

[vict85]

Per funzioni non lineari si può parlare di insieme degli zeri della funzione, che ha alcune proprietà interessanti. Non vi è però il concetto di insieme quoziente o comunque non c'è nel modo in cui c'è per gli spazi lineari e soprattutto non si hanno tutti i teoremi di isomorfismo e decomposizione.
Tra gli insiemi di funzioni molto studiati ci sono i polinomi.