Nucleo di dimensione minima
Devo determinare i valori di k per cui la dimensione del nucleo di f è minima.
La trasformazione lineare è la seguente: $((-1-k,0,k+2,k^2-2),(-1,k-3,1,0),(-2-k,0,k+2,k^2-2))$ .
Io procedo così:
Considerato che $dim(V)=dim(Ker(f))+dim(Im(f))$ allora dato che è una trasfomazione lineare $f:R^4 --->R^3$ la $dim(Im(f))=3$ dunque, posso cancellare una colonna dalla matrice: cancello l'ultima e diventa:
$((-1-k,0,k+2),(-1,k-3,1),(-2-k,0,k+2))$ e pongo il determinante di questa diverso da 0.
Sviluppo per la 2a colonna con La Place e trovo che i valori di k per cui il determinante è diverso da zero sono k diverso da ${-2;3}$ . Il problema è che la soluzione è k diverso da -2 ma non riesco a capacitarmene.
Potete illuminarmi? =D
La trasformazione lineare è la seguente: $((-1-k,0,k+2,k^2-2),(-1,k-3,1,0),(-2-k,0,k+2,k^2-2))$ .
Io procedo così:
Considerato che $dim(V)=dim(Ker(f))+dim(Im(f))$ allora dato che è una trasfomazione lineare $f:R^4 --->R^3$ la $dim(Im(f))=3$ dunque, posso cancellare una colonna dalla matrice: cancello l'ultima e diventa:
$((-1-k,0,k+2),(-1,k-3,1),(-2-k,0,k+2))$ e pongo il determinante di questa diverso da 0.
Sviluppo per la 2a colonna con La Place e trovo che i valori di k per cui il determinante è diverso da zero sono k diverso da ${-2;3}$ . Il problema è che la soluzione è k diverso da -2 ma non riesco a capacitarmene.
Potete illuminarmi? =D
Risposte
Buono il ragionamento, ma il fatto è che tu hai scelto arbitrariamente la colonna da cancellare e non è detto che fosse la scelta "migliore". Probabilmente cancellandone un'altra ottieni la soluzione indicata dal testo.
Devi calcolare tutti i possibili minori di dimensione 3 e vedere quello che esclude meno valori di $k$, quella sarà la soluzione ottimale.
Paola
Devi calcolare tutti i possibili minori di dimensione 3 e vedere quello che esclude meno valori di $k$, quella sarà la soluzione ottimale.
Paola
Ho fatto questa prova, ma vengono risultati anche diversi! Non c'è un metodo più efficace?
Ciao, io ho provato a ridurre la matrice col metodo di eliminazione, così
$ ((-1-k,0,k+2,k^2-2),(-1,k-3,1,0),(-2-k,0,k+2,k^2-2)) $
Sottraggo alla terza riga la prima e la seconda, poi moltiplico la seconda per $ (-k-1) $
$ ((-1-k,0,k+2,k^2-2),(k+1,(3-k)(k+1),-k-1,0),(0,-k+3,-1,0)) $
Aggiungo la prima alla seconda e poi moltiplico la terza riga per $ (k+1) $
$ ((-1-k,0,k+2,k^2-2),(0,(3-k)(k+1),1,k^2-2),(0,(3-k)(k+1),-k-1,0)) $
Tolgo la seconda riga dalla terza
$ ((-k-1,0,k+2,k^2-2),(0,(3-k)(k+1),1,k^2-2),(0,0,-k-2,-k^2+2)) $
A questo punto, se non ho sbagliato i calcoli ( controlla perchè li ho scarabocchiati su un foglietto
), mi sembra che comunque scegli $ k $ la dimensione del kernel sia $ 1=4-3 $ ...
$ ((-1-k,0,k+2,k^2-2),(-1,k-3,1,0),(-2-k,0,k+2,k^2-2)) $
Sottraggo alla terza riga la prima e la seconda, poi moltiplico la seconda per $ (-k-1) $
$ ((-1-k,0,k+2,k^2-2),(k+1,(3-k)(k+1),-k-1,0),(0,-k+3,-1,0)) $
Aggiungo la prima alla seconda e poi moltiplico la terza riga per $ (k+1) $
$ ((-1-k,0,k+2,k^2-2),(0,(3-k)(k+1),1,k^2-2),(0,(3-k)(k+1),-k-1,0)) $
Tolgo la seconda riga dalla terza
$ ((-k-1,0,k+2,k^2-2),(0,(3-k)(k+1),1,k^2-2),(0,0,-k-2,-k^2+2)) $
A questo punto, se non ho sbagliato i calcoli ( controlla perchè li ho scarabocchiati su un foglietto
), mi sembra che comunque scegli $ k $ la dimensione del kernel sia $ 1=4-3 $ ...
Quando moltiplichi per $k+1$ devi escludere $k\ne -1$ perché non si può moltiplicare per $0$. Bisogna quindi controllare cosa succede quando $k=-1$ a parte.
Paola
Paola
Hai ragionissima! Cmq mi sembra che viene lo stesso rango 3
Perplesso ha ragione.Anche dai miei calcoli risulta che ,escludendo che Ker(f) si riduca al solo vettore nullo ,comunque si scelga k è sempre :
\(\displaystyle dimIm(f) =3 ,dimKer(f)=1 \)
Pertanto due ipotesi sono possibili:
A) Il testo è errato
2) E' errata la risposta \(\displaystyle k\neq -2 \)
Ci sarebbe pure una terza ipotesi:che abbia sbagliato pure io ma saremmo in due !
\(\displaystyle dimIm(f) =3 ,dimKer(f)=1 \)
Pertanto due ipotesi sono possibili:
A) Il testo è errato
2) E' errata la risposta \(\displaystyle k\neq -2 \)
Ci sarebbe pure una terza ipotesi:che abbia sbagliato pure io ma saremmo in due !
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