Nucleo di applicazione lineare
Salve a tutti, chiedo di nuovo aiuto per un esercizio che sul libro di testo NON viene assolutamente spiegato come risolvere :/
Trovare il nucleo dell'applicazione lineare $ L : V_3 -> V_2 $ associata alla matrice $ A = ((2,0,5),(1,3,-1)) $. Dire poi se e' suriettiva.
Chiunque mi sappia spiegare il procedimento per fare questa cosa mi sarebbe di grandissimo aiuto, dato che non so nemmeno cosa devo fare per trovare il nucleo
Trovare il nucleo dell'applicazione lineare $ L : V_3 -> V_2 $ associata alla matrice $ A = ((2,0,5),(1,3,-1)) $. Dire poi se e' suriettiva.
Chiunque mi sappia spiegare il procedimento per fare questa cosa mi sarebbe di grandissimo aiuto, dato che non so nemmeno cosa devo fare per trovare il nucleo
Risposte
ci Provo io ma non sono sicuro se il procedimento è quello corretto...
Allora tu sai che l'applicazione $L$ opera in questo modo $AA (x,y,z) in V_3 rarr$ $(x,y)A$
ora svolgendo i calcoli dovresti avere (se non ho sbagliato) $((2x+y),(3y),(5x-y))$
ora un vettore sta nel $kerf$ se e solo se la sua immagine è $(0,0)$.
Eguagliando i risultati avrai $x=0$,$y=0$ quindi la nostra applicazione lineare è un monomorfismo (per la caratterizzazione dei monomorfismi)...
ora prosegui sulla falsa riga per la suriettività...
Allora tu sai che l'applicazione $L$ opera in questo modo $AA (x,y,z) in V_3 rarr$ $(x,y)A$
ora svolgendo i calcoli dovresti avere (se non ho sbagliato) $((2x+y),(3y),(5x-y))$
ora un vettore sta nel $kerf$ se e solo se la sua immagine è $(0,0)$.
Eguagliando i risultati avrai $x=0$,$y=0$ quindi la nostra applicazione lineare è un monomorfismo (per la caratterizzazione dei monomorfismi)...
ora prosegui sulla falsa riga per la suriettività...
per quel poco che ho capito io:
il nucleo e' l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo $ A ((x),(y)) = ((0),(0)) $
$ A ((2,0,5),(1,3,1)) $ ha rango 2, quindi il sistema (compatibile perche' omogeneo) ha 1 sola soluzione (rango uguale al numero delle incognite)
ed eccoci al nucleo; stante il fatto che il nucleo sia quindi {0} e' giusto dire che l'applicazione lineare e' suriettiva?
il nucleo e' l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo $ A ((x),(y)) = ((0),(0)) $
$ A ((2,0,5),(1,3,1)) $ ha rango 2, quindi il sistema (compatibile perche' omogeneo) ha 1 sola soluzione (rango uguale al numero delle incognite)
ed eccoci al nucleo; stante il fatto che il nucleo sia quindi {0} e' giusto dire che l'applicazione lineare e' suriettiva?
beh no, la suriettività è una proprietà che va verificata a parte... pensa alla sua definizione e a come applicarla in questo caso!
qui mi perdo...
"mistake89":
Allora tu sai che l'applicazione $L$ opera in questo modo $AA (x,y,z) in V_3 rarr$ $(x,y)A$
ora svolgendo i calcoli dovresti avere (se non ho sbagliato) $((2x+y),(3y),(5x-y))$
In realtà l'applicazione lineare $L$ dovrebbe agire in questo modo: per ogni $((x),(y),(z))\in RR^3$
$L((x),(y),(z)):=A((x),(y),(z))=((2,0,5),(1,3,-1))((x),(y),(z))=((2x+5z),(x+3y-z))$
Il nucleo è il sottoinsieme degli $(x,y,z)$ di $RR^3$ tali che $A((x),(y),(z))=((0),(0))$ cioè
${(2x+5z=0),(x+3y-z=0):}$
Calcolate $dim\ ker\ L$. Per verificare se $L$ è o meno surgettiva potete usare il fatto che $dim\ Im\ L=3-dim\ ker\ L$. Se $dim\ Im\ L=dim\ RR^2$, allora la vostra applicazione $L$ sarà surgettiva.
Hai ragione errore banale... però il procedimento che volevo indicare era quello, pardon!
"cirasa":
[quote="mistake89"]
Allora tu sai che l'applicazione $L$ opera in questo modo $AA (x,y,z) in V_3 rarr$ $(x,y)A$
ora svolgendo i calcoli dovresti avere (se non ho sbagliato) $((2x+y),(3y),(5x-y))$
In realtà l'applicazione lineare $L$ dovrebbe agire in questo modo: per ogni $((x),(y),(z))\in RR^3$
$L((x),(y),(z)):=A((x),(y),(z))=((2,0,5),(1,3,-1))((x),(y),(z))=((2x+5z),(x+3y-z))$
Il nucleo è il sottoinsieme degli $(x,y,z)$ di $RR^3$ tali che $A((x),(y),(z))=((0),(0))$ cioè
${(2x+5z=0),(x+3y-z=0):}$
Calcolate $dim\ ker\ L$. Per verificare se $L$ è o meno surgettiva potete usare il fatto che $dim\ Im\ L=3-dim\ ker\ L$. Se $dim\ Im\ L=dim\ RR^2$, allora la vostra applicazione $L$ sarà surgettiva.[/quote]
cirasa per favore puoi finire il ragionamento?
oppure, ti trovi con me che il sistema ha 0 soluzioni e quindi l'applicazione e' iniettiva?
beh no, dipendono da un parametro... ricavati $(x,y,z)$ tutto in funzione di uno di essi ed estrai una base.
ad esempio io ricavando tutto in funzione di $y$ dovrei avere $(-5y,y,-2y)$ quindi la base $(-5,1,-2)$
A me comunque la funzione risulta surgettiva poichè il $Ker$ ha dimensione 1
ad esempio io ricavando tutto in funzione di $y$ dovrei avere $(-5y,y,-2y)$ quindi la base $(-5,1,-2)$
A me comunque la funzione risulta surgettiva poichè il $Ker$ ha dimensione 1
mistake potresti farmi vedere come fai?
il procedimento dico, coi vari passaggi
il procedimento dico, coi vari passaggi
ho semplicemente risolto in sistema lineare: dalla prima equazione hai che $x= 5/2 z$ sostituisci nella seconda $(5z + 6y -2z)/2$ da questa ricavi che $z=-2y$ da cui $x=-5y$ ora quindi il nostro vettore $(x,y,z)$ può essere riscritto $(-5y,y,-2y)$
scusa ma non mi trovo; il sistema e' sicuramente compatibile perche' omogeneo, e nel momento in cui il rango della matrice e' uguale al numero delle incognite ci puo' essere una sola soluzione, che e' quindi quella banale; quindi il nucleo dovrebbe essere proprio 0
ma il rango è 2 mentre il sistema ha 3 incognite
"mistake89":
ma il rango è 2 mentre il sistema ha 3 incognite
ma il sistema omogeneo derivante dall'applicazione lineare $ L: V^3->V^2 $ ne ha 2 (x,y)... o sbaglio?
L'idea di mistake89 è giusta, ha solo sbagliato i conti!
Dalla prima equazione hai $x=-\frac{5}{2}z$. Mannaggia ai segni
Sostituisci nella seconda e dopo un po' di calcoletti ottieni $z=\frac{6}{7}y$ da cui $x=-\frac{15}{7}y.
Quindi i vettori di $ker\ L$ sono tutti e soli quelli nella forma $(-\frac{15}{7}y,y,\frac{6}{7}y)$.
Una base di $ker\ L$ (sempre se non ho sbagliato anch'io!) è $(-15,7,6)$. Quindi $dim\ ker\ L=1$.
Per sapere, senza calcolare esplicitamente $ker\ L$, qual è la sua dimensione, puoi usare il teorema di Rouchè-Capelli (rivedilo meglio!
). L'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è uno spazio vettoriale di dimensione $n-rank(A)$, dove $n$ è il numero di incognite e $A$ è la matrice dei coefficienti. In questo caso $3-2=1$.
Infine l'immagine. Dalla formula a cui abbiamo accennato prima, ha dimensione pari a $3-dim\ ker\ L=3-1=2=rank(A)$.
"mistake89":
ho semplicemente risolto in sistema lineare: dalla prima equazione hai che $x= 5/2 z$ sostituisci nella seconda $(5z + 6y -2z)/2$ da questa ricavi che $z=-2y$ da cui $x=-5y$ ora quindi il nostro vettore $(x,y,z)$ può essere riscritto $(-5y,y,-2y)$
Dalla prima equazione hai $x=-\frac{5}{2}z$. Mannaggia ai segni
Sostituisci nella seconda e dopo un po' di calcoletti ottieni $z=\frac{6}{7}y$ da cui $x=-\frac{15}{7}y.
Quindi i vettori di $ker\ L$ sono tutti e soli quelli nella forma $(-\frac{15}{7}y,y,\frac{6}{7}y)$.
Una base di $ker\ L$ (sempre se non ho sbagliato anch'io!) è $(-15,7,6)$. Quindi $dim\ ker\ L=1$.
"Hunho":
scusa ma non mi trovo; il sistema e' sicuramente compatibile perche' omogeneo, e nel momento in cui il rango della matrice e' uguale al numero delle incognite ci puo' essere una sola soluzione, che e' quindi quella banale; quindi il nucleo dovrebbe essere proprio 0
Per sapere, senza calcolare esplicitamente $ker\ L$, qual è la sua dimensione, puoi usare il teorema di Rouchè-Capelli (rivedilo meglio!
). L'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è uno spazio vettoriale di dimensione $n-rank(A)$, dove $n$ è il numero di incognite e $A$ è la matrice dei coefficienti. In questo caso $3-2=1$.Infine l'immagine. Dalla formula a cui abbiamo accennato prima, ha dimensione pari a $3-dim\ ker\ L=3-1=2=rank(A)$.
Dannati calcoli
grazie mille per la correzione!
grazie mille per la correzione!
Prego! A chi non è mai capitato di sbagliare i conti?
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