Nucleo dell'Applicazione Linare
Salve a tutti!
Approfitto del mio primo post (e quindi primo dubbio) su questo forum anche per presentarmi!
Frequento il corso di Ingegneria Elettronica presso la Sapienza e, neanche a dirlo, sto trovando un bel po' di problemi nell'affrontare le materie del primo semestre (sono stato appena bocciato al primo appello di Analisi I
ma, lo ammetto, è stato più per eccessiva leggerezza che per mancanza di preparazione), prima di tutto e sopratutto perchè vengo da un liceo classico dove di matematica (sebbene PNI) se ne è vista poca e male (Tanto per dire non sapevo assolutamente come trattare i moduli oppure a cosa servissero o cosa fossero i limiti notevoli)!
E Geometria se è possibile è anche peggio!
Stavo svolgendo un esercizio che chiedeva, data un applicazione lineare da f: R^2 a R^3 definita da f(1,2,1)->(1,0), f(-1,0,1)->(1,-1), f(1,1,1)->(2,1) di calcolare f(2,3,2)
Con un po' di fatica ho risolto questo passo, poi la seconda parte dell'esercizio chiedeva di trovare una seconda applicazione che rispettasse queste due proprietà: 1) Ker(f)=Im(t) 2) i vettori di Ker(t) perpendicolari a Im(t) (dove t è la nuova applicazione).
Il problema è che non ho ben chiaro come calcolare il nucleo della prima applicazione...
come matrice associata io avevo utilizzato i 3 vettori trasformati che mi ha dato l'esercizio perchè sono linearmente indipendenti ma non so se sia giusto e in più non saprei come continuare!
Ringrazio in anticipo per l'aiuto che potrete darmi!
Approfitto del mio primo post (e quindi primo dubbio) su questo forum anche per presentarmi!
Frequento il corso di Ingegneria Elettronica presso la Sapienza e, neanche a dirlo, sto trovando un bel po' di problemi nell'affrontare le materie del primo semestre (sono stato appena bocciato al primo appello di Analisi I
ma, lo ammetto, è stato più per eccessiva leggerezza che per mancanza di preparazione), prima di tutto e sopratutto perchè vengo da un liceo classico dove di matematica (sebbene PNI) se ne è vista poca e male (Tanto per dire non sapevo assolutamente come trattare i moduli oppure a cosa servissero o cosa fossero i limiti notevoli)!E Geometria se è possibile è anche peggio!
Stavo svolgendo un esercizio che chiedeva, data un applicazione lineare da f: R^2 a R^3 definita da f(1,2,1)->(1,0), f(-1,0,1)->(1,-1), f(1,1,1)->(2,1) di calcolare f(2,3,2)
Con un po' di fatica ho risolto questo passo, poi la seconda parte dell'esercizio chiedeva di trovare una seconda applicazione che rispettasse queste due proprietà: 1) Ker(f)=Im(t) 2) i vettori di Ker(t) perpendicolari a Im(t) (dove t è la nuova applicazione).
Il problema è che non ho ben chiaro come calcolare il nucleo della prima applicazione...
come matrice associata io avevo utilizzato i 3 vettori trasformati che mi ha dato l'esercizio perchè sono linearmente indipendenti ma non so se sia giusto e in più non saprei come continuare!
Ringrazio in anticipo per l'aiuto che potrete darmi!
Risposte
Bene,
Ho capito come si comporta la funzione
f(x,y,z)-->[x-y+2z, (3x-2y+z)/2]
presa la base canonica di R'3
Ho trovato la matrice A= $ ( ( 1 , -1 , 2 ),( 3/2 , -1 , 1/2 ) ) $
ora come trovo una base per Ker(f)??
Potevo usare come matrice associata A'= $ ( ( 1 , 1 , 2 ),( 0 , -1 , 1 ) ) $ ? Cioè utilizzando direttamente i vettori trasformati dati dall'esercizio anzichè i trasformati della base canonica?
Ho capito come si comporta la funzione
f(x,y,z)-->[x-y+2z, (3x-2y+z)/2]
presa la base canonica di R'3
Ho trovato la matrice A= $ ( ( 1 , -1 , 2 ),( 3/2 , -1 , 1/2 ) ) $
ora come trovo una base per Ker(f)??
Potevo usare come matrice associata A'= $ ( ( 1 , 1 , 2 ),( 0 , -1 , 1 ) ) $ ? Cioè utilizzando direttamente i vettori trasformati dati dall'esercizio anzichè i trasformati della base canonica?
Per determinare Ker(f) basta risolvere il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}x-y+2z=0\\3x-2y+z=0 \end{cases}\)
Le soluzioni sono del tipo (3k,5k,k) e quindi:
Ker(f)={(3,5,1)}
Sarà pure :
Im(t)={(3,5,1)}
Dai dati risulta che:
\(\displaystyle t(x,y,z) :R^3->R^3 \) e poiché dim Im(t)=1 segue che dim Ker(t)=3-1=2
Sia allora (x,y,z) il generico vettore di Ker(t).Siccome è \(\displaystyle Ker(t) \perp Im(t) \) deve essere:
\(\displaystyle 3x+5y+z=0 \)
Due soluzioni di tale equazione sono ad esempio:
(2,-1,-1) e ( -1,1,-2)
e questi due vettori,essendo lin. indipendenti, costituiscono una base di Ker(t) . Come completamento ad una base di R^3
posso prendere il vettore (0,1,0) [ con la condizione che [ad esempio] sia t(0,1,0)=(3,5,1)]
Quindi una base di R^3 è:
(2,-1,-1) , ( -1,1,-2), (0,1,0)
dal momento che questi tre vettori sono lin.ind.
Le condizioni :
\(\displaystyle \begin{cases} t(2,-1,-1)=(0,0,0) \\ t(-1,1,-2)=(0,0,0)\\t(0,1,0)=(3,5,1)\end{cases}\)
determinano completamente la t.
Dai miei calcoli ricavo che , per la base di R^3 considerata ,è :
\(\displaystyle t(x,y,z)=\left (\frac{3}{5}(3x+5y+z),3x+5y+z,\frac{1}{5}(3x+5y+z)\right) \)
Controlla pure tu,
\(\displaystyle \begin{cases}x-y+2z=0\\3x-2y+z=0 \end{cases}\)
Le soluzioni sono del tipo (3k,5k,k) e quindi:
Ker(f)={(3,5,1)}
Sarà pure :
Im(t)={(3,5,1)}
Dai dati risulta che:
\(\displaystyle t(x,y,z) :R^3->R^3 \) e poiché dim Im(t)=1 segue che dim Ker(t)=3-1=2
Sia allora (x,y,z) il generico vettore di Ker(t).Siccome è \(\displaystyle Ker(t) \perp Im(t) \) deve essere:
\(\displaystyle 3x+5y+z=0 \)
Due soluzioni di tale equazione sono ad esempio:
(2,-1,-1) e ( -1,1,-2)
e questi due vettori,essendo lin. indipendenti, costituiscono una base di Ker(t) . Come completamento ad una base di R^3
posso prendere il vettore (0,1,0) [ con la condizione che [ad esempio] sia t(0,1,0)=(3,5,1)]
Quindi una base di R^3 è:
(2,-1,-1) , ( -1,1,-2), (0,1,0)
dal momento che questi tre vettori sono lin.ind.
Le condizioni :
\(\displaystyle \begin{cases} t(2,-1,-1)=(0,0,0) \\ t(-1,1,-2)=(0,0,0)\\t(0,1,0)=(3,5,1)\end{cases}\)
determinano completamente la t.
Dai miei calcoli ricavo che , per la base di R^3 considerata ,è :
\(\displaystyle t(x,y,z)=\left (\frac{3}{5}(3x+5y+z),3x+5y+z,\frac{1}{5}(3x+5y+z)\right) \)
Controlla pure tu,
Grazie mille per la spiegazione! Ho trovato il nucleo di (f)
Solo che non capisco perchè Essendo Ker(t) perpendicolare a Im(t) allora si costruisce l'equazione $ 3x+5y+z=0 $
Un'altra cosa. Quando l'esercizio dice di cercare una nuova applicazione, discutendone con un collega di corso, è saltata fuori la proiezione ortogonale di un vettore $ v in R^3 $. In effetti il 'Teorema delle Proiezioni' dice che essendo U=Ker(f) sottospazio di $ R^3 $ il vettore $ w=Proj $ di $ v $ su $ U $ è un vettore di $ U $.
Leggendo dalle dispense del mio professore ho letto che l'applicazione così definita è lineare e ha Ker(f)=Im(t) e $ Ker(t) _|_ Ker(f)=Im(t) $ soddisfacendo così la richiesta dell'esercizio.
Può andare secondo voi? Il teorema però da come condizione che la base di $ U=Ker(f) $ sia ortogonale. Si può dire che la base di Ker(f) trovata B=[3,5,1] sia ortogonale nonostante sia formata da un solo vettore?
Solo che non capisco perchè Essendo Ker(t) perpendicolare a Im(t) allora si costruisce l'equazione $ 3x+5y+z=0 $
Un'altra cosa. Quando l'esercizio dice di cercare una nuova applicazione, discutendone con un collega di corso, è saltata fuori la proiezione ortogonale di un vettore $ v in R^3 $. In effetti il 'Teorema delle Proiezioni' dice che essendo U=Ker(f) sottospazio di $ R^3 $ il vettore $ w=Proj $ di $ v $ su $ U $ è un vettore di $ U $.
Leggendo dalle dispense del mio professore ho letto che l'applicazione così definita è lineare e ha Ker(f)=Im(t) e $ Ker(t) _|_ Ker(f)=Im(t) $ soddisfacendo così la richiesta dell'esercizio.
Può andare secondo voi? Il teorema però da come condizione che la base di $ U=Ker(f) $ sia ortogonale. Si può dire che la base di Ker(f) trovata B=[3,5,1] sia ortogonale nonostante sia formata da un solo vettore?
Sul Teorema delle Proiezioni ho vaghi ricordi e quindi passo la palla ad altri 
! Sul resto faccio una premessa.
Due vettori (a,b,c) ed (a',b',c') di R^3 sono ortogonali se la somma dei prodotti delle componenti corrispondenti è zero,cioé se si verifica l'equazione aa'+bb'+cc'=0 ( sarebbe l'ordinario prodotto scalare tra vettori di R^3). Detto questo, osserva che Ker(f) ,e quindi Im(t),non è formato dal solo vettore (3,5,1) ma da tutti i vettori del tipo (3k,5k,k) con k in R.Se quindi prendi il generico vettore (x,y,z) di Ker(t) ,questo sarà ortogonale al generico vettore di Im(t) ,che come ho detto sopra è del tipo (3k,5k,k), solo e solo se risulta:x*3k+y*5k+z*k=0 ovvero solo e solo se si ha 3x+5y+z=0 C.V.D.
! Sul resto faccio una premessa.Due vettori (a,b,c) ed (a',b',c') di R^3 sono ortogonali se la somma dei prodotti delle componenti corrispondenti è zero,cioé se si verifica l'equazione aa'+bb'+cc'=0 ( sarebbe l'ordinario prodotto scalare tra vettori di R^3). Detto questo, osserva che Ker(f) ,e quindi Im(t),non è formato dal solo vettore (3,5,1) ma da tutti i vettori del tipo (3k,5k,k) con k in R.Se quindi prendi il generico vettore (x,y,z) di Ker(t) ,questo sarà ortogonale al generico vettore di Im(t) ,che come ho detto sopra è del tipo (3k,5k,k), solo e solo se risulta:x*3k+y*5k+z*k=0 ovvero solo e solo se si ha 3x+5y+z=0 C.V.D.
Grazie mille! Ho risolto l'esercizio, finalmente 
Avrei un'altra domanda, che non centra granchè con l'argomento della discussione...
Devo calcolare degli autovettori e mi ritrovo un sistema di questo tipo
$ { ( -x+y+z=0 ),( 2x-2y+4z=0 ),( -x-y+3z=0 ):} $
Con quale criterio si assegna il parametro libero? nel libro, o nelle varie spiegazioni in questo sito c'è sempre un parametro libero da considerare.. a me viene spontaneo invece risolvere il sistema ottendendo $x=y=z=0$
Evidentemente c'è qualcosa che non ho afferrato..
Avrei un'altra domanda, che non centra granchè con l'argomento della discussione...
Devo calcolare degli autovettori e mi ritrovo un sistema di questo tipo
$ { ( -x+y+z=0 ),( 2x-2y+4z=0 ),( -x-y+3z=0 ):} $
Con quale criterio si assegna il parametro libero? nel libro, o nelle varie spiegazioni in questo sito c'è sempre un parametro libero da considerare.. a me viene spontaneo invece risolvere il sistema ottendendo $x=y=z=0$
Evidentemente c'è qualcosa che non ho afferrato..
Ho commesso un errore, scusate..
Il sistema in realtà era
$ { ( -x-y-z=0 ),( -2x-2y-4z=0 ),( x+y+3z=0 ):} $
Ed ho così ottenuto un autovettore del tipo $ ( ( t ),( -t ),( 0 ) ) $ Come faccio ora a determinarne la molteplicità geometrica?
Il sistema in realtà era
$ { ( -x-y-z=0 ),( -2x-2y-4z=0 ),( x+y+3z=0 ):} $
Ed ho così ottenuto un autovettore del tipo $ ( ( t ),( -t ),( 0 ) ) $ Come faccio ora a determinarne la molteplicità geometrica?
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