Nucleo $A$ e $A^TA$

[Angus1956]

Sia $AinM_n(RR)$. Dedurre che $A$ e $A^TA$ hanno lo stesso nucleo.
Io ho pensato di fare cosi:
Prendo $vinKerA$, si ha quindi che $Av=0$ ma allora $A^TAv=0$ da cui $vinKerA^TA$ e quindi $kerAsubeKerA^TA$. Definisco $<,>$ il prodotto scalare standard di $RR^n$ e prendo $vinKerA^TA$. Abbiamo che $ =v^tA^TAv=0$, poiché il prodotto scalare standard è definito positivo allora necessariamente $Av=0$ da cui $vinKerA$, quindi concludendo $kerA=KerA^TA$.
E' giusto? Ci sono anche altri modi di risolverlo?

[Martino]

Certo, si risolve come hai fatto.

[Angus1956]

"Martino":Certo, si risolve come hai fatto.

Ok perfetto

[dissonance]

Non penso ci siano "altri modi" di risolverlo, nel senso che necessariamente deve entrare in gioco il prodotto scalare. È quello che lega \(A^T\) ad \(A\), altrimenti sarebbero solo due matrici qualsiasi.

[Angus1956]

"dissonance":Non penso ci siano "altri modi" di risolverlo, nel senso che necessariamente deve entrare in gioco il prodotto scalare. È quello che lega \(A^T\) ad \(A\), altrimenti sarebbero solo due matrici qualsiasi.

Ok