Notazioni tensoriali

[ludwigZero]

Vorrei delucidarmi su alcune osservazioni da fare per le notazioni tensoriali. Dalla teoria si ha:
http://tinypic.com/r/3517u5u/5


Il simbolo di Kroneker viene usato nel prodotto scalare tra due vettori ed esso. Forse è sottointesa però credo che manchi il simbolo di sommatoria, cioè non dovrebbe essere scritto come:

$\sum_(i=j=1) v_i w_j \delta_(i,j)$ che va ad $N$?

Ho letto che vi è una identità nell'algebra di Lie, cioè quella di Jacobi, cioè data una terna di vettori si ha:
$a x (b x c) + b x (c x a) + c x (a x b) = 0 $

ora mi chiedo, l'identità di Joacobi non è una conseguenza - corollario della notazione tensoriale di Levi - Civita? Tuttavia tale proprietà di Jacobi l'ho 'dimostrata' banalmente ponendo ai vettori $a,b,c$ i vettori unimodulari della base canonica in $RR^3$: $i,j,k$ e torna. Ma se volessi usare Levi Civita?
Un'altra cosa che ho capito male: nell'immagine (sempre su levi civita) c'è un $0$ sinon quale caso sarebbe?

[Giuly191]

Si tratta della notazione di Einstein: quando compaiono inidici ripetuti nell'espressione si può omettere il simbolo di sommatoria.
Per quanto riguarda la seconda domanda penso proprio sia "venuta prima" l'identità di Jacobi del tensore $epsilon$.
Infine $epsilon$ vale $0$ se compare due volte lo stesso indice.

[ludwigZero]

Quindi se avessi una cosa tipo:

$v_i \epsilon_(1,2,3) + v_j \epsilon_(1,2,3) + v_j \epsilon_(1,2,3) = 0$

con $v_$ vettore....

[Giuly191]

Premetto che non sono molto pratico di questo formalismo, ma sinceramente non mi sembra molto sensato quello che hai scritto. Anche perchè siccome $epsilon_(1,2,3) = 1 $ tu avresti scritto $v_i + v_j + v_j = 0$.

[ludwigZero]

ecco dove falla....non saprei fare un esempio concreto, ma dalla definizione è:

$\epsilon_(1,1,3) = \epsilon_(1,2,2) = \epsilon_(3,2,3)$ e cosi via....