Notazione sottospazi

[giovx24]

salve,
dato un sottospazio $V$
cosa si intende per $V_-1$ e $V^⊥$?
grazie mille

[Magma1]

In genere, dato un'endomorfismo $f: V->V$ e un prodotto scalare standard $p: V xx V->RR$

$V_lambda:={v in V : qquad f(v)=lambdav, qquad lambda in RR}$


$V^(_|_):={v in V : qquad p(v,w)=0, qquad AA w in V^(_|_)}$

[giovx24]

scusa potresti spiegarmi a parole la seconda
la definizione non la capisco proprio
grazie

[Magma1]

$V^(_|_)$ contiene i vettori mutuamente ortogonali ai vettori contenuti nello spazio vettoriale $V$.

Ad esempio, se ho $V={((1),(0),(0))}$, allora $V^(_|_)={((0),(1),(0)), ((0),(0),(1))}$; infatti

$(1,0,0)((0),(1),(0))=0$

$(1,0,0)((0),(0),(1))=0$

[giovx24]

grazie

[giovx24]

in genere se ho un sottospazio $V$ c'è un procedimento da seguire per ottenere $V^⊥$?

[Magma1]

Il metodo più generico consiste nella risoluzione di un sistema lineare omogeno: dato un insieme $V={v_1,...,v_k}subeRR^n$ si impone che il prodotto scalare di $v_i$ con un vettore generico sia nullo, cioè

$p(v_i, v)=0, qquad AA i=1,...,k, qquad v=((x_1),(vdots),(x_n))$

Ad esempio, se ho $V={((0),(1),(0)), ((0),(0),(1))} $, per trovare $V^(_|_)$ considero il seguente sistema lineare omogeno

${ ((0,1,0)((x),(y),(z))=0 ),( (0,0,1)((x),(y),(z))=0 ):} hArr { ( y=0 ),( z=0 ):} rArr V^(_|_)={((1),(0),(0))}$

[giovx24]

grazie,
nel caso in cui il sottospazio fosse fornito da una sua base posso fare lo stesso ragionamento lavorando solo sui vettori che compongono la base?

[Magma1]

Sì, per brevità ho abusato della notazione ; avrei dovuto scrivere

$V=mathcalL{e_1,e_2}$