Normalizzazione vettori

[vix74]

Ciao ragazzi, sto trovando difficoltà nel capire lo svolgimento di un passaggio.
Ma prima una breve premessa.
Supponiamo di avere i tre autovettori $ bar(u)=l( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ , $ bar(v)=k( ( -1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ e $ bar(w)=s( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $.
I vettori normalizzati risultano
$ bar(u_1)=l_1( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ con $ l_1=1/(sqrt(2) $,
$ bar(v_1)=k_1( ( -1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ con $ k_1=1/(sqrt(2) $, e
$ bar(w_1)=s_1( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $ con $ s_1=1 $
per una matrice ortonormale $ [ bar(u) \ | \ bar(v) \ | \ bar(w) ] $.
Supponiamo invece di avere i seguenti due autovettori: $ bar(u)=l( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ e $ bar(v)=k( ( -1 ),( 0 ),( 1 ) ) +s( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $. Per dimostrarne l'ortogonalità applico Gram Schmidt, e ok. Tuttavia non capisco come normalizzare $ bar(v) $. Potete aiutarmi?

[dissonance]

È un problema concettuale, tu confondi i vettori con gli spazi vettoriali da essi generati. Per forza non ti trovi. Dovresti passare un po' di tempo sulla teoria.

[vix74]

Premesso che non studio matematica, il docente si è limitato a dire questo a lezione:
- un vettore $ x in R^n $ è un punto del piano cartesiano rappresentato come una n-upla di n elementi.
- $ (V,+,\cdot ) $ è uno spazio vettoriale su campo $ K $ se l'insieme $ V $ gode della proprietà associativa, commutativa, esistenza dell'elemento neutro rispetto a "+" , esistenza dell'elemento inverso rispetto a "+" e via discorrendo.

Anche nel merito di ciò che ho chiesto, si è limitato a dirci che la normalizzazione di un vettore ad es. $ l[ ( 1 ),( 2 ),( 3 ) ] $ si fa $ ||bar(v)||=sqrt(l^2+2l^2+3l^2)=1 $ che porta ad avere un vettore normalizzato $ l_1[ ( 1 ),( 2 ),( 3 ) ] $ con $ 1/(2sqrt(2)) $ . Non ci fatto alcun esempio rispetto al caso che vi ho proposto, per questo sto chiedendo a voi.

[donald_zeka]

Non serve mica studiare matematica per capire la differenza tra vettori e spazi vettoriali eh

[vix74]

Questo è ciò che si suol dire un contributo costruttivo

[cooper1]

"vix74":
Anche nel merito di ciò che ho chiesto, si è limitato a dirci che la normalizzazione di un vettore ad es. $ l[ ( 1 ),( 2 ),( 3 ) ] $ si fa $ ||bar(v)||=sqrt(l^2+2l^2+3l^2)=1 $ che porta ad avere un vettore normalizzato $ l_1[ ( 1 ),( 2 ),( 3 ) ] $ con $ 1/(2sqrt(2)) $ . Non ci fatto alcun esempio rispetto al caso che vi ho proposto, per questo sto chiedendo a voi.

scusami ma questo esempio è sbagliato (forse-poi mi spiego). la norma di quel vettore non è $1/(2sqrt2)$ ma $1/sqrt(14)$.
quando vogliamo calcolare la norma di un vettore dobbiamo anzitutto introdurre un prodotto scalare e definire una norma. se per voi il prodotto scalare è quello canonico di $RR^n$ e la norma è quella euclidea, allora l'esempio è errato. il prodotto scalare standard, dati due vettori $vecx, vecy$ è $vecx * vecy = sum_(i=1)^(n)x_i y_i$ e la norma di un vettore è definita per esempio come $||vecx|| = sqrt(vecx * vecx)$. per normalizzarlo quindi basta dividere il vettore per la sua norma. nel caso in esame, dato $vecx=((1),(2),(3))$ la norma è $||vecx||=sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2)=sqrt(14)$. quindi il vettore normalizzato (il versore) è $hatx = 1/(||vecx||)vecx=1/sqrt(14)((1),(2),(3))$.