Normale esterna unitaria e teorema di Gauss
Ho di nuovo bisogno dell'aiuto di qualcuno che mi spieghi un po' di cose! Devo risolvere questo problema (che dovrebbe essere facile, ma non mi ricordo più cosa devo fare e ho molta confusione in testa). Grazie in anticipo.
Allora, devo calcolare la normale esterna unitaria $n(x)$ per la sfera di $B_r(a):=\{x \in \mathbb{R}^n \ : \ ||x-a||_2 <=r\}$. Io so la definizione che $n(x)=\nabla\phi(x)|\nabla\phi(x)|^{-1}$ ma in questo caso cosa sarebbe $\phi$?
Seconda domanda, devo confermare il Teorema di Gauss per $F(x)=x$ sulla sfera tridimensionale $B=B_1(0)\subset \mathbb{R}^3$, quindi sostanzialmente devo calcolare direttamente i seguenti due integrali e far vedere che sono uguali:
$\int_B d ivF(x)dx$ e $\int_{\partialB} F(\xi) \cdot n(\xi) dS(\xi)$ giusto?
Ora però $\int_B d iv F(x)dx=\int_B \sum_{i=1}^3 \frac{\partialF_i}{\partialx_i}(x)dx$ giusto? ma questo quanto viene? verrebbe $3\int_Bdx$? e questo quanto è?
Grazie
Allora, devo calcolare la normale esterna unitaria $n(x)$ per la sfera di $B_r(a):=\{x \in \mathbb{R}^n \ : \ ||x-a||_2 <=r\}$. Io so la definizione che $n(x)=\nabla\phi(x)|\nabla\phi(x)|^{-1}$ ma in questo caso cosa sarebbe $\phi$?
Seconda domanda, devo confermare il Teorema di Gauss per $F(x)=x$ sulla sfera tridimensionale $B=B_1(0)\subset \mathbb{R}^3$, quindi sostanzialmente devo calcolare direttamente i seguenti due integrali e far vedere che sono uguali:
$\int_B d ivF(x)dx$ e $\int_{\partialB} F(\xi) \cdot n(\xi) dS(\xi)$ giusto?
Ora però $\int_B d iv F(x)dx=\int_B \sum_{i=1}^3 \frac{\partialF_i}{\partialx_i}(x)dx$ giusto? ma questo quanto viene? verrebbe $3\int_Bdx$? e questo quanto è?
Grazie
Risposte
"Raphael":
Ho di nuovo bisogno dell'aiuto di qualcuno che mi spieghi un po' di cose! Devo risolvere questo problema (che dovrebbe essere facile, ma non mi ricordo più cosa devo fare e ho molta confusione in testa). Grazie in anticipo.
Allora, devo calcolare la normale esterna unitaria $n(x)$ per la sfera di $B_r(a):=\{x \in \mathbb{R}^n \ : \ ||x-a||_2 <=r\}$. Io so la definizione che $n(x)=\nabla\phi(x)|\nabla\phi(x)|^{-1}$ ma in questo caso cosa sarebbe $\phi$?
Seconda domanda, devo confermare il Teorema di Gauss per $F(x)=x$ sulla sfera tridimensionale $B=B_1(0)\subset \mathbb{R}^3$, quindi sostanzialmente devo calcolare direttamente i seguenti due integrali e far vedere che sono uguali:
$\int_B d ivF(x)dx$ e $\int_{\partialB} F(\xi) \cdot n(\xi) dS(\xi)$ giusto?
Ora però $\int_B d iv F(x)dx=\int_B \sum_{i=1}^3 \frac{\partialF_i}{\partialx_i}(x)dx$ giusto? ma questo quanto viene? verrebbe $3\int_Bdx$? e questo quanto è?
Grazie
La tua $phi$ sarebbe una funzione che fornisce una rappresentazione implicita della superficie sferica: in questo caso $phi(x)=|x-a|^2-r^2$, che fornisce la rappresentazione implicita $phi(x)=0$, ossia $|x-a|=r$ (uso $|\cdot|$ al posto del tuo $||\cdot||_2$ per denotare la norma euclidea).
Il gradiente di $phi$ è uguale al gradiente di $|x-a|$ pertanto, fissato $x$ sulla superficie $phi(x)=0$ e visto che $AA i in {1,\ldots ,n}, (\partial |x-a|)/(\partial x_i)=(x_i-a_i)/(|x-a|)=(x_i-a_i)/r$, trovi:
$\nabla phi(x)=1/r*(x-a)$
e questo vettore è già normalizzato, cosicché esso fornisce la normale esterna alla superficie sferica di centro $a$ e raggio $r$ nel punto variabile $x$.
Questo risultato, se ci pensi, è noto dalla Geometria Elementare: infatti la retta normale alla circonferenza (nel piano, o alla sfera nello spazio) nel punto $x$ è quella per il centro della circonferenza che ha direzione uguale al raggio congiungente il centro $a$ con $x$.
Per il resto, basta fare due calcoli.
Buono studio.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo