Norma vettore proiezione

[zio_mangrovia]

Non riesco a capire come si ricava la formula per il calcolo della norma del vettore proiezione $u$ nella direzione di $v$ cioè:

$|P_vu|=|uv|/|v|$

come salta fuori?

Questo lo capisco $P_vu=(uv)/|v|^2v$ ma come salta fuori la norma non ho ben compreso.

Grazie

[cooper1]

uhm non sono sicuro della dimostrazione nè delle notazioni che hai usato. se indichi con $|*|$ la norma e con $uv$ il prodotto scalare di $u$ con $v$ due generici vettori presi da un certo spazio vettoriale, allora che senso ha calcolarne la norma?
penso che la giusta uguaglianza possa essere:
$|| Pr || =(|u*v|)/||v||$ dove $||*||$ indica la norma, $|*|$ il modulo e $*$ il prodotto scalare.
se fosse questa io la dimostrerei così...
dalla formula che hai fornito, se prendo la sua norma e se definisco $u*v = alpha$ (è quindi un certo scalare), ottengo
$|| Pr || =(||(alpha v)||)/(||v||^2) = (|alpha|)/(||v||^2) ||v||$ da cui segue la tesi
il tutto per $v != 0$
edit: con $|uv|$ magari semplicemente intendi la norma che quando sei in dimensione 1 coincide col modulo e sono io che non ci arrivo subito?

[zio_mangrovia]

io ho utilizzato questa dispensa del prof.

[cooper1]

ok allora no. a me quello sembra il modulo. non conoscevo la formula del coseno con i moduli ma solo con le norme! non si smette di imparare insomma!
detto questo per dimostrare che il modulo della proiezione definita dal tuo prof è quella basta che applichi il modulo e ricordi che il modulo del prodotto è uguale al prodotto dei moduli.

[zio_mangrovia]

"cooper":ok allora no. a me quello sembra il modulo. non conoscevo la formula del coseno con i moduli ma solo con le norme! non si smette di imparare insomma!
detto questo per dimostrare che il modulo della proiezione definita dal tuo prof è quella basta che applichi il modulo e ricordi che il modulo del prodotto è uguale al prodotto dei moduli.

Rileggevo, adesso sono davvero in confusione. Sugli appunti del prof la norma viene anche detta modulo ma dalle tue parole non sembra affatto così.
Continuo a non comprendere come si arriva a trovare il valore della proiezione.

[cooper1]

probabilmente lavorate in dimensione 1, non so.

"zio_mangrovia":Continuo a non comprendere come si arriva a trovare il valore della proiezione.

hai la seguente definizione: $Pr =(uv)/(|v|^2)v$
prendi il modulo di questa:
$|Pr| =|(uv)/(|v|^2)v|$ adesso applichi le proprietà del modulo, quindi:
1. il modulo di una quantità positiva (in questo caso il denominatore) resta tale quantità
2. il modulo del prodotto è uguale al prodotto dei moduli (qui vuol dire che puoi separare |(uv)v|=|uv|*|v|)
da questo segue: $|Pr| =|(uv)/(|v|^2)v|=|uv|/(|v|^2)*|v|$ semplificando ottieni la formula.

[zio_mangrovia]

chiarissimo, grazie

[anto_zoolander]

C'è un metodo carino che mostra il Sernesi.
dato $V$ spazio euclideo(facciamo reale e lo dotiamo del prodotto scalare standard) e due vettori $v,w$ linearmente indipendenti allora esiste un unico $c inRR$ tale che $ =0$

Ovvero $ -c =0$ se $w,v$ sono ortogonali allora $c=0$ se non sono ortogonali allora $c=()/()$

Inoltre $w=(w-cv)+cv$ dove $(w-cv)$ è ortogonale a $cv$. Pertanto, in notazione più felice, $(w*v)/(||v||^2)v$ è il vettore proiezione ortogonale del vettore $w$ lungo la direzione di $v$.

$||(w*v)/(||v||^2)v||=|w*v|/(||v||^2)||v||=|w*v|/(||v||)$

In particolare se $v$ è un versore allora $|w*v|/(||v||)=|w*v|$

Che è praticamente identica a quella di cooper, volevo farti notare in particolare la prima parte che ho scritto