Norma uniforme di una matrice.
salve su i miei appunti ho questa nuova strana notazione, mi potreste aiutare a trovare un significato più profondo.
Norma uniforme di una matrice.
$||A||=max_(|X|<=1)||AX||$
Al dila dei conti che servono a dimostrare che è una matrice che ho sugli appunti mi spiegate come si valuta, mi potreste fare un esempio.
AX se nn sbaglio è un vettore colonna, giusto?x è un vettore colonna che definisce una sfera delle dimensioni della matrice?e il msssimo è una palla o sono le componenti?
Grazie a presto.
Norma uniforme di una matrice.
$||A||=max_(|X|<=1)||AX||$
Al dila dei conti che servono a dimostrare che è una matrice che ho sugli appunti mi spiegate come si valuta, mi potreste fare un esempio.
AX se nn sbaglio è un vettore colonna, giusto?x è un vettore colonna che definisce una sfera delle dimensioni della matrice?e il msssimo è una palla o sono le componenti?
Grazie a presto.
Risposte
Anche se i segni sono uguali, la norma $|| * ||$ non è la stessa nei due membri.
Quella a destra è la norma in $RR^n$ (euclidea o quella che stai usando, tanto sono tutte equivalenti), quindi uno scalare.
Quella a sinistra è la norma che stai definendo sullo spazio delle matrici, che fondamentalmente è la norma che guarda a una matrice come un operatore lineare continuo.
Quella a destra è la norma in $RR^n$ (euclidea o quella che stai usando, tanto sono tutte equivalenti), quindi uno scalare.
Quella a sinistra è la norma che stai definendo sullo spazio delle matrici, che fondamentalmente è la norma che guarda a una matrice come un operatore lineare continuo.
Possiamo approfondire meglio questo discorso. Che prendo il vettore con le componeti massime o uno scalare come max? Grazie a presto. MAri
Dunque se $A$ è una matrice $N\times M$ ($N$ righe $M$ colonne)
allora è definito il prodotto $Y=AX$ dove $X$ è un vettore $M$ -dimensionale e il risultato $Y$ è un vettore
$N$-dimensionale (sperando di non confondere righe con colonne come mi capita spesso). Dunque $A$
individua un operatore lineare da $RR^M$ in $RR^N$ (e tutti gli operatori lineari si rappresentano così).
Se indichiamo con $||\cdot||_M$ e $||\cdot||_N$ le norme nei rispettivi $RR^M$ e $RR^N$ possiamo considerare:
$||A||:=\max_{||x||_M\leq1}||AX||_N= \max_{||x||_M=1}||AX||_N=\min {C : ||AX||_N\leq C ||X||_M \forall X}$
(puoi verificare che le definizioni sono equivalenti). In sostanza la $||A||$ è la miglior costante di Lipschitz per
la funzione $X\mapsto AX$ (da $RR^M$ in $RR^N$).
allora è definito il prodotto $Y=AX$ dove $X$ è un vettore $M$ -dimensionale e il risultato $Y$ è un vettore
$N$-dimensionale (sperando di non confondere righe con colonne come mi capita spesso). Dunque $A$
individua un operatore lineare da $RR^M$ in $RR^N$ (e tutti gli operatori lineari si rappresentano così).
Se indichiamo con $||\cdot||_M$ e $||\cdot||_N$ le norme nei rispettivi $RR^M$ e $RR^N$ possiamo considerare:
$||A||:=\max_{||x||_M\leq1}||AX||_N= \max_{||x||_M=1}||AX||_N=\min {C : ||AX||_N\leq C ||X||_M \forall X}$
(puoi verificare che le definizioni sono equivalenti). In sostanza la $||A||$ è la miglior costante di Lipschitz per
la funzione $X\mapsto AX$ (da $RR^M$ in $RR^N$).
"squalllionheart":
Possiamo approfondire meglio questo discorso. Che prendo il vettore con le componeti massime o uno scalare come max? Grazie a presto. MAri
Prendi il massimo dello scalare $|| Ax ||$ quando $x$ varia nell'insieme dei vettori $x \in RR^n$ di norma (la norma che prendi in $RR^n$, di solito è quella euclidea) al più $1$.
in soldoni sarebbe la componente di modulo massimo nel vettore che richaviamo dal prodotto AX. Giusto?
Un informazione:
Quando definiamo l'esponenziole di una matrice e in fatto che l'esponeziole di una matrice rappresenta uno spazio metrico completo con la norma che abbiamo definito sopra, ci permette di fare delle considerazioni sensate sulle soluzione di sistemi di equazioni differenziali lineari giusto?
Quando dimostriamo che la serie delle norme converge ad una funzioni continua e che esiste la derivata dell'esponeziale di una matrice ciò è strettamente collegato a questo fatto? Altrimenti fare delle considerazioni sulle soluzioni delle equazioni differeziali nn avrebbe senso?
Vorrei capire bene questi nessi.Credo che il ragionamento sia questo ma nn ne sono del tutto sicura.Grazie a presto
Un informazione:
Quando definiamo l'esponenziole di una matrice e in fatto che l'esponeziole di una matrice rappresenta uno spazio metrico completo con la norma che abbiamo definito sopra, ci permette di fare delle considerazioni sensate sulle soluzione di sistemi di equazioni differenziali lineari giusto?
Quando dimostriamo che la serie delle norme converge ad una funzioni continua e che esiste la derivata dell'esponeziale di una matrice ciò è strettamente collegato a questo fatto? Altrimenti fare delle considerazioni sulle soluzioni delle equazioni differeziali nn avrebbe senso?
Vorrei capire bene questi nessi.Credo che il ragionamento sia questo ma nn ne sono del tutto sicura.Grazie a presto
"squalllionheart":
in soldoni sarebbe la componente di modulo massimo nel vettore che richaviamo dal prodotto AX. Giusto?
Un informazione:
Quando definiamo l'esponenziole di una matrice e in fatto che l'esponeziole di una matrice rappresenta uno spazio metrico completo con la norma che abbiamo definito sopra, ci permette di fare delle considerazioni sensate sulle soluzione di sistemi di equazioni differenziali lineari giusto?
Quando dimostriamo che la serie delle norme converge ad una funzioni continua e che esiste la derivata dell'esponeziale di una matrice ciò è strettamente collegato a questo fatto? Altrimenti fare delle considerazioni sulle soluzioni delle equazioni differeziali nn avrebbe senso?
Vorrei capire bene questi nessi.Credo che il ragionamento sia questo ma nn ne sono del tutto sicura.Grazie a presto
Non sono ancora sicuro che tu abbia colto la definizione di norma di $A$. Quello che dici ("in soldoni ...") potrebbe essere giusto se consideri come norma di un vetto re il massimo dei moduli delle sue componenti e se prendi il massimo
al variare di tutti i vettori $X$ di norma (minore o) eguale a uno. Se no (per esempio se consideriamo la norma euclidea) la norma di $A$ non è quella che dici tu.
Ti faccio un esempio : sia $A=((1,1),(1,1))$ e sia $X=((x_1),(x_2))$ un vettore unitario: $x_1^2+x_2^2=1$.Allora $||AX||=||((x_1+x_2),(x_1+x_2))||=\sqrt{(x_1+x_2)^2+(x_1+x_2)^2}=\sqrt{2}|x_1+x_2|$
Se di questa quantità prendi il massimo trovi facilmente che viene $||A||=2$ (è come fare il massimo di $\sqrt{2}(\cos(t)+\sin(t))$ per $0\leq t\leq\pi/2$).
Per quanto riguarda il resto direi che per definire $e^A$ lo spazio metrico completo che serve è quello delle matrici con la norma introdotta sopra che ha il gran pregio di verificare $||AB||\leq||A|| ||B||$
Forse però , quando parli dii equazioni differenziali, pensi all'esponenziale $e(t):=e^{tA}$ che si ambienta nello spazio delle funzioni continue con la norma uniforme (su un intervallo ) e si ottiene come una serie du funzioni
In questo caso devi utilizzare i teoremi di derivazione sotto il segno di serie.
ok ma le osservazioni che facciamo servono per dimostrare che tutto è ben posto.Se l'esponeziale di una matrice nn fosse uno spazio metrico completo nn avrebbe senso parlare di soluzioni i qui termini?Giusto?
"squalllionheart":
ok ma le osservazioni che facciamo servono per dimostrare che tutto è ben posto.Se l'esponeziale di una matrice nn fosse uno spazio metrico completo nn avrebbe senso parlare di soluzioni i qui termini?Giusto?
Scusami, ma cosa vuol dire che l'esponenziale di una matrice è uno spazio metrico completo ??
L'esponenziale di una matrice è una matrice (che si ottiene come limite di una serie di matrici - e tale limite esiste perchè lo spazio delle matrici con la norma suddetta è completo).
Poi per parlare di soluzioni di un'equazione differenziale (presumo $Y'=AY$) bisogna mettersi in qualche spazio di funzioni (ed è ancora un'altra storia)
Scusami ma nn conosco il codice per le citazioni;)
Quando affermi:
cosa vuol dire che l'esponenziale di una matrice è uno spazio metrico completo ??
Intendevo lo spazio $L(RR^n)$ che contiene la matrice con la norma uniforme è completo.
Domanda l'espenziale di una matrice di $L(RR^n)$ si trova ancora in $L(RR^n)?
Quando dici:
L'esponenziale di una matrice è una matrice (che si ottiene come limite di una serie di matrici - e tale limite esiste perchè lo spazio delle matrici con la norma suddetta è completo).
Domanda: Quando dimostro che l'esponenziale di una matrice è una matrice mi serve per far vedere che l'esponeziale di una matrice è ben posto inotre per questo mi serve definire uno spazio metrico completo, altrimenti la serie di matrici nn convergerebbe giusto?
Grazie per la disponibilità:
Scusami ma riguardo a questa cosa ho confusione i libri nn mi hanno aiutato.
Quando affermi:
cosa vuol dire che l'esponenziale di una matrice è uno spazio metrico completo ??
Intendevo lo spazio $L(RR^n)$ che contiene la matrice con la norma uniforme è completo.
Domanda l'espenziale di una matrice di $L(RR^n)$ si trova ancora in $L(RR^n)?
Quando dici:
L'esponenziale di una matrice è una matrice (che si ottiene come limite di una serie di matrici - e tale limite esiste perchè lo spazio delle matrici con la norma suddetta è completo).
Domanda: Quando dimostro che l'esponenziale di una matrice è una matrice mi serve per far vedere che l'esponeziale di una matrice è ben posto inotre per questo mi serve definire uno spazio metrico completo, altrimenti la serie di matrici nn convergerebbe giusto?
Grazie per la disponibilità:
Scusami ma riguardo a questa cosa ho confusione i libri nn mi hanno aiutato.
"squalllionheart":
Scusami ma nn conosco il codice per le citazioni;)
Quando affermi:
cosa vuol dire che l'esponenziale di una matrice è uno spazio metrico completo ??
Intendevo lo spazio $L(RR^n)$ che contiene la matrice con la norma uniforme è completo.
Domanda l'espenziale di una matrice di $L(RR^n)$ si trova ancora in $L(RR^n)?
Quando dici:
L'esponenziale di una matrice è una matrice (che si ottiene come limite di una serie di matrici - e tale limite esiste perchè lo spazio delle matrici con la norma suddetta è completo).
Domanda: Quando dimostro che l'esponenziale di una matrice è una matrice mi serve per far vedere che l'esponeziale di una matrice è ben posto inotre per questo mi serve definire uno spazio metrico completo, altrimenti la serie di matrici nn convergerebbe giusto?
Grazie per la disponibilità:
Scusami ma riguardo a questa cosa ho confusione i libri nn mi hanno aiutato.
EDIT - ho modificato il messaggio scritto prima in fretta e furia.
Hai più o meno ragione (anche se ti esprimi un po' approssimativamente -scusa se te lo dico)
Premesso che non so come ti è stata introdotta la matrice $e^A$, suppongo che sia stato fatto ponendo
$e^A:=\sum_{n=0}^\infty\frac{A^n}{n!}$
Bene, per dire che la definizione sopra è ben posta effettivamente ti serve sapere che lo spazio delle matrici con la norma $||A||$ è completo - questo perchè dimostri che
la serie delle norme $\sum_{n=0}^\infty\frac{||A||^n}{n!}$ (che è una serie di numeri non negativi) è convergente e IN UNO SPAZIO NORMATO COMPLETO
$\sum_{n}||a_n||<+\infty$ implica $\sum_n a_n$ converge.
Comunque rileggendo il tuo messaggio mi sembra che la questione tu l'avessi capita.
Nei messaggi precedenti ti avevo anche messo in guardia riguardo al punto successivo, in cui si passa a dimostrare
che $e^{tA}X$ risolve l'equazione differenziale $Y'=AY, Y(0)=X$. Qui servono i teoremi di derivazione delle
serie di funzioni (e centra la completezza dello spazio delle funzioni continue sull'intervallo).
Scusa se sembro pedante.
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