Norma naturale di matrice
Salve!
So che la norma naturale di una matrice si esprime come limite superiore, per $x!=0$, di $||A*x||/||x||$.
Se però dovessi scrivere un caso di norma di matrice NON NATURALE, come potrei procedere?
Grazie in anticipo!
So che la norma naturale di una matrice si esprime come limite superiore, per $x!=0$, di $||A*x||/||x||$.
Se però dovessi scrivere un caso di norma di matrice NON NATURALE, come potrei procedere?
Grazie in anticipo!
Risposte
perchè porti questo problema?
fra l'altro le norme su uno spazio di dimensione finita sono tutte equivalenti...
fra l'altro le norme su uno spazio di dimensione finita sono tutte equivalenti...
E' un problema che ci ha posto il professore a scuola..
Cosa intendi con: le norme sono equivalenti? Io cercavo di conoscere un esempio di norma che non rientra nel caso da me specificato.
Cosa intendi con: le norme sono equivalenti? Io cercavo di conoscere un esempio di norma che non rientra nel caso da me specificato.
http://people.na.infn.it/~simoni/norme% ... alenti.pdf
riassunto:
in uno spazio vettoriale di dimensione finita tutte le norme inducono la stessa topologia, quindi, di fatto sono le stesse.
Ciò non toglie che possano assegnare valori diversi allo stesso vettore, ma non cambia niente. Infatti le norme servono per fare i limiti, per la continuità eccetera.. ed in tal caso interessa la topologia indotta e non la norma in sè
riassunto:
in uno spazio vettoriale di dimensione finita tutte le norme inducono la stessa topologia, quindi, di fatto sono le stesse.
Ciò non toglie che possano assegnare valori diversi allo stesso vettore, ma non cambia niente. Infatti le norme servono per fare i limiti, per la continuità eccetera.. ed in tal caso interessa la topologia indotta e non la norma in sè
Magnifico.
Grazie mille.
Grazie mille.
una matrice può essere vista come un elemento di $RR^{mn}$
questo ti permette di costruire un po' di "norme-non-naturali"
puoi usare la norma euclidea, o la noma "$l^1$" o quella "$l^{oo}$", ad esempio
cioè, rispettivamente:
$ \sqrt{ \sum_{i,j} a_{ij}^2 } \ \ \ $ $ \sum_{i,j} | a_{ij} | \ \ \ $ $ \max_{i,j} | a_{ij} | $
quanto al fatto che "tutte le norme sono equivalenti" in dimensione finita, è vero nel senso (detto) che inducono tutte la stessa topologia (anzi, ancor meglio: inducono metriche equivalenti)
vorrei però temperare l'affermazione di ubermensch: è eccessivo dire che "non cambia niente"
non tutto è topologia (anche se la amo
)
ad esempio, per problemi di approssimazione, anche in dimensione finita, può essere meglio, più semplice, più adatto, usare una norma anziché un'altra
oppure, nel metodo di penalizzazione (usato per ridurre un problema di estremo vincolato ad uno libero), la scelta della norma usata per costruire il termine penalizzante non è irrilevante
questo ti permette di costruire un po' di "norme-non-naturali"
puoi usare la norma euclidea, o la noma "$l^1$" o quella "$l^{oo}$", ad esempio
cioè, rispettivamente:
$ \sqrt{ \sum_{i,j} a_{ij}^2 } \ \ \ $ $ \sum_{i,j} | a_{ij} | \ \ \ $ $ \max_{i,j} | a_{ij} | $
quanto al fatto che "tutte le norme sono equivalenti" in dimensione finita, è vero nel senso (detto) che inducono tutte la stessa topologia (anzi, ancor meglio: inducono metriche equivalenti)
vorrei però temperare l'affermazione di ubermensch: è eccessivo dire che "non cambia niente"
non tutto è topologia (anche se la amo
)ad esempio, per problemi di approssimazione, anche in dimensione finita, può essere meglio, più semplice, più adatto, usare una norma anziché un'altra
oppure, nel metodo di penalizzazione (usato per ridurre un problema di estremo vincolato ad uno libero), la scelta della norma usata per costruire il termine penalizzante non è irrilevante
"nepero87":
Salve!
So che la norma naturale di una matrice si esprime come limite superiore, per $x!=0$, di $||A*x||/||x||$.
Perchè vien detta naturale ?
Grazie a chi mi darà una spiegazione ragionata.
ciao Camillo
non so dare una risposta "sicura", ma solo illazioni (e in quanto tali "ragionate", obbligatoriamente)
se prendo un operatore lineare $L:X->Y$, posso fare $||L(x)||_Y/||x||_X$, che è lo stesso di $||A*x||_Y/||x||_X$, solo che non dipende dalle basi scelte nello spazio di partenza e di arrivo (ma dipende dalle norme scelte nello spazio di partenza e di arrivo! D'altronde, possono essere spazi vettoriali diversi e quindi pretendere che sia la stessa norma è un po' troppo... al più si potrà pretendere che siano norme "dello stesso tipo", per es. entrambe euclidee)
altro motivo: le altre norme che indicavo nel post derivano da una "arbitraria" identificazione dello spazio di matrici dentro a $RR^{nm}$ e quindi mi danno una sensazione di "artificiosità" (si tratta di "gusti" personali...)
se qualcuno conosce la "risposta esatta", farà piacere anche a me conoscerla
già che me li sono guardati, cercando una risposta, segnalo questi due siti:
http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_norm
http://mathworld.wolfram.com/NaturalNorm.html
e questo spezzone dal sci.math group di google:
We don't just use one matrix norm, any more than we use just one
vector norm. It is a fact that if we have a vector norm then we can
always define a matrix norm by:
||A|| = sup(||Av||)
where the suprememum (which is in fact a maximum) is taken over all
unit vectors. Again, a vector norm on the RHS defines a matrix norm on
the LHS. This is called the natural norm or the induced norm for that
vector norm. It has two key properties: It is guaranteed to be
consistent with its vector norm, and no other matrix norm consistent
with that vector norm can give a smaller value for ||A||. Since we are
usually estimating things, and since we often are interested in things
like ||A||<1, etc., this is desireable. The Frobenius norm is *not* a
natural norm; the natural norm corresponding to the Euclidean vector
norm is called the spectral norm and is the square root of the largest
eigenvalue of A*A (A transpose times A if A is real).
non so dare una risposta "sicura", ma solo illazioni (e in quanto tali "ragionate", obbligatoriamente)
se prendo un operatore lineare $L:X->Y$, posso fare $||L(x)||_Y/||x||_X$, che è lo stesso di $||A*x||_Y/||x||_X$, solo che non dipende dalle basi scelte nello spazio di partenza e di arrivo (ma dipende dalle norme scelte nello spazio di partenza e di arrivo! D'altronde, possono essere spazi vettoriali diversi e quindi pretendere che sia la stessa norma è un po' troppo... al più si potrà pretendere che siano norme "dello stesso tipo", per es. entrambe euclidee)
altro motivo: le altre norme che indicavo nel post derivano da una "arbitraria" identificazione dello spazio di matrici dentro a $RR^{nm}$ e quindi mi danno una sensazione di "artificiosità" (si tratta di "gusti" personali...)
se qualcuno conosce la "risposta esatta", farà piacere anche a me conoscerla
già che me li sono guardati, cercando una risposta, segnalo questi due siti:
http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_norm
http://mathworld.wolfram.com/NaturalNorm.html
e questo spezzone dal sci.math group di google:
We don't just use one matrix norm, any more than we use just one
vector norm. It is a fact that if we have a vector norm then we can
always define a matrix norm by:
||A|| = sup(||Av||)
where the suprememum (which is in fact a maximum) is taken over all
unit vectors. Again, a vector norm on the RHS defines a matrix norm on
the LHS. This is called the natural norm or the induced norm for that
vector norm. It has two key properties: It is guaranteed to be
consistent with its vector norm, and no other matrix norm consistent
with that vector norm can give a smaller value for ||A||. Since we are
usually estimating things, and since we often are interested in things
like ||A||<1, etc., this is desireable. The Frobenius norm is *not* a
natural norm; the natural norm corresponding to the Euclidean vector
norm is called the spectral norm and is the square root of the largest
eigenvalue of A*A (A transpose times A if A is real).
vediamo se riesco a dire qualcosa di più.
Siano $X,Y$ spazi normati. e $f:X\rightarrowY$ un operatore. Vale il seguente
lemma
Se $f$ è lineare, sono equivalenti
1) $f$ è continuo
2) $f$ è continuo in $0$
3) esiste una costante reale $A$ tale che $||f(x)||\leA||x||$
In base a ciò è ben definito per operatori continui il numero reale non-negativo $M=$inf${A : ||f(x)||\leA||x||,\forall x\in X}$
Adesso si usa il fatto che la norma è omogenea per il prodotto dello scalare per dire che
$M=$sup${A : ||f(x)||\leqA}$
cioè ci si riconduce agli elementi in $X$ di norma $1$. Ne segue che $M$ rappresenta il raggio della palla di centro l'origine in $Y$ dentro la quale sono contenuti tutti i valori di $f$, quando agisce sulla circonferenza unitaria in $X$.
Con tali osservazioni appare naturale pensare a tale numero come una norma. Innanzi tutto si verifica essere una norma sugli operatori lineari e continui. Il fatto che sia una norma "naturale", stante l'arbitrarietà dell'aggettivo "naturale", discende allora dal fatto che essa misura "la grandezza dell'azione di $f$".
Nel caso delle matrici, si è nel caso $X=RR^n$ e $Y=RR^m$, dotati della norma euclidea. Accade il miracolo che ogni operatore lineare fra questi due spazi è continuo e quindi vale quanto detto prima.
Siano $X,Y$ spazi normati. e $f:X\rightarrowY$ un operatore. Vale il seguente
lemma
Se $f$ è lineare, sono equivalenti
1) $f$ è continuo
2) $f$ è continuo in $0$
3) esiste una costante reale $A$ tale che $||f(x)||\leA||x||$
In base a ciò è ben definito per operatori continui il numero reale non-negativo $M=$inf${A : ||f(x)||\leA||x||,\forall x\in X}$
Adesso si usa il fatto che la norma è omogenea per il prodotto dello scalare per dire che
$M=$sup${A : ||f(x)||\leqA}$
cioè ci si riconduce agli elementi in $X$ di norma $1$. Ne segue che $M$ rappresenta il raggio della palla di centro l'origine in $Y$ dentro la quale sono contenuti tutti i valori di $f$, quando agisce sulla circonferenza unitaria in $X$.
Con tali osservazioni appare naturale pensare a tale numero come una norma. Innanzi tutto si verifica essere una norma sugli operatori lineari e continui. Il fatto che sia una norma "naturale", stante l'arbitrarietà dell'aggettivo "naturale", discende allora dal fatto che essa misura "la grandezza dell'azione di $f$".
Nel caso delle matrici, si è nel caso $X=RR^n$ e $Y=RR^m$, dotati della norma euclidea. Accade il miracolo che ogni operatore lineare fra questi due spazi è continuo e quindi vale quanto detto prima.
Grazie a Fioravante e Ubermensch per le risposte, che vado a meditare
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