Norma indotta
Mi spiegate cosa è la norma indotta.
Risposte
Ma intendi sulla matrice? Cosa non hai capito?
Considera una norma [tex]\|\mathbf{\cdot}\|[/tex] su uno spazio vettoriale [tex]V[/tex] e [tex]A[/tex] una matrice. Allora [tex]\displaystyle\|A\| = \max_{\|\mathbf{v}\| = 1} \|A\mathbf{v}\|[/tex] oppure anche [tex]\displaystyle\|A\| = \max_{\|\mathbf{v}\| \in V} \frac{\|A\mathbf{v}\|}{\|\mathbf{v}\|}[/tex].
In altre parola la norma indotta è la massima distorsione positiva della lunghezza che la trasformazione lineare produce.
Le varie formule per le norme indotte legate a [tex]\|\mathbf{\cdot}\|_{\infty}[/tex], [tex]\|\mathbf{\cdot}\|_{1}[/tex], [tex]\|\mathbf{\cdot}\|_2[/tex] e [tex]\|\mathbf{\cdot}\|_p[/tex] si ricavano dai calcoli.
Considera una norma [tex]\|\mathbf{\cdot}\|[/tex] su uno spazio vettoriale [tex]V[/tex] e [tex]A[/tex] una matrice. Allora [tex]\displaystyle\|A\| = \max_{\|\mathbf{v}\| = 1} \|A\mathbf{v}\|[/tex] oppure anche [tex]\displaystyle\|A\| = \max_{\|\mathbf{v}\| \in V} \frac{\|A\mathbf{v}\|}{\|\mathbf{v}\|}[/tex].
In altre parola la norma indotta è la massima distorsione positiva della lunghezza che la trasformazione lineare produce.
Le varie formule per le norme indotte legate a [tex]\|\mathbf{\cdot}\|_{\infty}[/tex], [tex]\|\mathbf{\cdot}\|_{1}[/tex], [tex]\|\mathbf{\cdot}\|_2[/tex] e [tex]\|\mathbf{\cdot}\|_p[/tex] si ricavano dai calcoli.
O forse voleva capire il motivo per cui si dice indotta
La definizone formale la sapevo e anche i tipi di norma. Già "la massima distorsione positiva della lunghezza che la trasformazione lineare produce" è esplicativo ;D
Il motivo per cui si dice indotta anche sarebbe una buona idea ;D
Il motivo per cui si dice indotta anche sarebbe una buona idea ;D
Penso che si dica "indotta" perchè è una funzione della norma del vettore.
In questo senso, è "indotta" dalla norma del vettore. Penso.
Le norme indotte sono norme compatibili, cioè $||Ax||<=||A||*||x||$ -lo si dimostra facilmente dalla definizione stessa, come la diede vict85.
In questo senso, è "indotta" dalla norma del vettore. Penso.
Le norme indotte sono norme compatibili, cioè $||Ax||<=||A||*||x||$ -lo si dimostra facilmente dalla definizione stessa, come la diede vict85.
"vict85":
[tex]\|\mathbf{\cdot}\|_{\infty}[/tex], [tex]\|\mathbf{\cdot}\|_{1}[/tex], [tex]\|\mathbf{\cdot}\|_2[/tex] e [tex]\|\mathbf{\cdot}\|_p[/tex] si ricavano dai calcoli.
Con $||.||_2$ intendi la norma euclidea di un vettore?
Da notare che la norma Euclidea DI MATRICE: ||A||_F=(\sum(A_(ij)^2)^(1/2)$
non è indotta, sebbene sia una norma compatibile.
Diversa dalla norma Euclidea DI MATRICE è la norma spettrale:
$||A||_2=\SQRT(\rho(A^TA))$.
Non è indotta.
Per la matrice $A_(n"x"1)$ si riduce alla norma Euclidea di vettore.
Anche la norma spettrale è una norma compatibile.
Indotta perchè il vettore induce alla norma?
[tex]\| \cdot \|_2[/tex] è un modo standard per segnare la norma standard di [tex]\mathbb{R}^n[/tex] (la si trova comunemente nei libri di analisi matematica, analisi numerica e algebra lineare) e la sua generalizzazione sono le norme [tex]\| \cdot \|_p[/tex] (o se si vuole [tex]\| \cdot \|_2[/tex] è una norma particolare appartenente a questa classe). L'uso di questa notazione è presente sopratutto quando non c'è anche la norma matriciale infatti alcuni preferiscono usare un simbolo diverso (anche se il Quarteroni per esempio non lo fa). Altri ancora segnano diversamente le norme indotte.
Queste norme inducono delle norme sull'insieme delle trasformazioni lineari dello spazio in cui sono definite (quindi quello delle matrici quadrate) attraverso la formula che ho scritto sopra. Se si usano matrici non quadrate allora le norme che inducono la norma matriciale sono due, una per il dominio e l'altra per il codominio. La norma che hai scritto tu viene generalmente definita solo su matrici quadrate e in quelle è effettivamente indotta dalla norma [tex]\| \cdot \|_2[/tex] (Quarteroni e altri lo dimostrano). La maggior parte dei libri si limita al caso di matrici quadrate essendo il caso non quadrato molto più difficile da gestire.
La formula dovrebbe rimanere valida anche per il caso non quadrato e nel caso di matrice colonna essa coincide effettivamente con la norma euclidea e quindi è banalmente indotto da essa (e dalla norma della retta reale). In ogni caso io consideravo la norma indotta da [tex]\| \cdot \|_2[/tex] e non la norma definita da quella formula.
Per il caso di matrici quadrate se vediamo le matrici come trasformazioni una norma indotta è di fatto definita come la norma che associa ad ogni matrice il raggio (misurato con la norma data) della più piccola palla chiusa che contiene interamente l'immagine della "sfera" dei vettori di norma 1. L'aspetto geometrico che ho richiamato è visibile principalmente se la matrice è quadrata e non singolare e se la norma è quella euclidea, è evidente che se la matrice è singolare oppure non quadrata l'immagine della "sfera" è più difficile da visualizzare e se la norma non è euclidea la sfera non sarà una sfera.
Queste norme inducono delle norme sull'insieme delle trasformazioni lineari dello spazio in cui sono definite (quindi quello delle matrici quadrate) attraverso la formula che ho scritto sopra. Se si usano matrici non quadrate allora le norme che inducono la norma matriciale sono due, una per il dominio e l'altra per il codominio. La norma che hai scritto tu viene generalmente definita solo su matrici quadrate e in quelle è effettivamente indotta dalla norma [tex]\| \cdot \|_2[/tex] (Quarteroni e altri lo dimostrano). La maggior parte dei libri si limita al caso di matrici quadrate essendo il caso non quadrato molto più difficile da gestire.
La formula dovrebbe rimanere valida anche per il caso non quadrato e nel caso di matrice colonna essa coincide effettivamente con la norma euclidea e quindi è banalmente indotto da essa (e dalla norma della retta reale). In ogni caso io consideravo la norma indotta da [tex]\| \cdot \|_2[/tex] e non la norma definita da quella formula.
Per il caso di matrici quadrate se vediamo le matrici come trasformazioni una norma indotta è di fatto definita come la norma che associa ad ogni matrice il raggio (misurato con la norma data) della più piccola palla chiusa che contiene interamente l'immagine della "sfera" dei vettori di norma 1. L'aspetto geometrico che ho richiamato è visibile principalmente se la matrice è quadrata e non singolare e se la norma è quella euclidea, è evidente che se la matrice è singolare oppure non quadrata l'immagine della "sfera" è più difficile da visualizzare e se la norma non è euclidea la sfera non sarà una sfera.
"orazioster":
[quote="vict85"] [tex]\|\mathbf{\cdot}\|_{\infty}[/tex], [tex]\|\mathbf{\cdot}\|_{1}[/tex], [tex]\|\mathbf{\cdot}\|_2[/tex] e [tex]\|\mathbf{\cdot}\|_p[/tex] si ricavano dai calcoli.
Con $||.||_2$ intendi la norma euclidea di un vettore?
Da notare che la norma Euclidea DI MATRICE: $||A||_F=(\sum(A_(ij)^2)^(1/2)$
non è indotta, sebbene sia una norma compatibile.
Diversa dalla norma Euclidea DI MATRICE è la norma spettrale:
$||A||_2=\SQRT(\rho(A^TA))$.
Non è indotta.
Per la matrice $A_(n"x"1)$ si riduce alla norma Euclidea di vettore.
Anche la norma spettrale è una norma compatibile.[/quote]
Mi scuso per gli errori di digitazione, che ho provato a correggere.
Siccome mi ci trovo in mezzo, ad un esame su questo, mi son permessso,
E ribadisco.
Ma -mica era una cosa personale!
Ah!
Siccome mi ci trovo in mezzo, ad un esame su questo, mi son permessso,
E ribadisco.
Ma -mica era una cosa personale!
Ah!
"orazioster":
Mi scuso per gli errori di digitazione, che ho provato a correggere.
Siccome mi ci trovo in mezzo, ad un esame su questo, mi son permessso,
E ribadisco.
Ma -mica era una cosa personale!
Ah!
Scusa, non voleva esserlo. Devo avere esagerato con lo zelo. Siccome mi sembrava strano che non fosse indotta ho controllato su vari manuali e poi ho risposto. Comunque la norma di Forbenius che hai scritto tu era un esempio di norma non indotta che fosse compatibile. Era una cosa che non era stata detta ed effettivamente poteva essere interessante aggiungere. Soprattutto perché risulta una "buona" approssimazione per eccesso della norma spettrale. Soprattutto se la matrice è piccola. In bocca al lupo per l'esame.P.S: Ok, forse mi esalto un po' troppo a rispondere alla mia amoretta
P.S2: Non era necessario ripostarlo bastava modificare il messaggio.
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