Norma della norma di un vettore
Qualcuno sa spiegarmi come mai II(IIvII)II = IIvII? Dove con IIvII intendo la norma del vettore v.
Risposte
Ciao,
ricorda che la norma classica indotta dal prodotto scalare standard in $RR^n$ è un'applicazione:
$N:RR^n->RR,vec v -> sqrt()$
Se $vec v in RR$, ovvero è uno scalare reale $vec v = a$ si ha che:
$N(a)=sqrt(a^2)=|a|$
In particolare:
$N(N(vec v))=N(||vec v||)= |(||vec v ||)|=||vec v||$
ricorda che la norma classica indotta dal prodotto scalare standard in $RR^n$ è un'applicazione:
$N:RR^n->RR,vec v -> sqrt(
Se $vec v in RR$, ovvero è uno scalare reale $vec v = a$ si ha che:
$N(a)=sqrt(a^2)=|a|$
In particolare:
$N(N(vec v))=N(||vec v||)= |(||vec v ||)|=||vec v||$
Grazie per la risposta! Il fatto è che vorrei sapere perchè è così in generale, quindi per una qualsiasi norma legata ad un qualsiasi prodotto scalare di un qualsiasi spazio vettoriale Euclideo, quindi non necessariamente quello canonico di R^(n)
Ciao non credo sia valido per tutte i tipi di norma, infatti se definiamo come norma:
$N:X^n->RR,vec v ->e^5 ||vec v ||$
sia ha che $AA vec v,vec w in X^n$:
1)$N(vec v)=0 <=> vec v = vec 0$
2)$Im (N)=[0,+oo)$
3)$AA lambda in RR: N(lambda vec v)=e^5|lambda|*||vec v||=|lambda|*N(vec v)$
4)$N(vec v + vec w)<=^?N(vec v) + N(vec w)$
$e^5||vec v+vec w||<=^?e^5||vec v||+e^5||vec w||$
$||vec v+vec w||<=||vec v||+||vec w||$
Dunque $N$ è una norma ben definita.
Ma $N(N(vec v))=N(e^5||vec v||)=e^5*(||e^5* (||vec v||)||)=e^10 vec v!=N(vec v)$
$N:X^n->RR,vec v ->e^5 ||vec v ||$
sia ha che $AA vec v,vec w in X^n$:
1)$N(vec v)=0 <=> vec v = vec 0$
2)$Im (N)=[0,+oo)$
3)$AA lambda in RR: N(lambda vec v)=e^5|lambda|*||vec v||=|lambda|*N(vec v)$
4)$N(vec v + vec w)<=^?N(vec v) + N(vec w)$
$e^5||vec v+vec w||<=^?e^5||vec v||+e^5||vec w||$
$||vec v+vec w||<=||vec v||+||vec w||$
Dunque $N$ è una norma ben definita.
Ma $N(N(vec v))=N(e^5||vec v||)=e^5*(||e^5* (||vec v||)||)=e^10 vec v!=N(vec v)$
Quindi dici che non per forza la funzione norma è definita come la radice del prodotto scalare di un vettore per se stesso?
Il mio libro scrive:
"Per ogni vettore $vec v$ di uno spazio Euclideo V, si chiama norma di $vec v$ il numero reale non negativo:
$||vec v||=sqrt()$"
Quindi io lo interpreto che qualunque sia lo spazio Euclideo considerato e quindi qualunque sia il prodotto scalare considerato, la norma di un vettore è definita come la radice del prodotto scalare di un vettore per se stesso.
Poi di seguito scrive che se $vec v$ è un qualsiasi vettore non nullo, il vettore $((vec v)/(||vec v||))$ è un vettore unità, ed è cercando di dimostrarlo, cioè facendo la norma di questo nuovo vettore, che mi è venuto il dubbio sulla norma della norma di un vettore!
Il mio libro scrive:
"Per ogni vettore $vec v$ di uno spazio Euclideo V, si chiama norma di $vec v$ il numero reale non negativo:
$||vec v||=sqrt(
Quindi io lo interpreto che qualunque sia lo spazio Euclideo considerato e quindi qualunque sia il prodotto scalare considerato, la norma di un vettore è definita come la radice del prodotto scalare di un vettore per se stesso.
Poi di seguito scrive che se $vec v$ è un qualsiasi vettore non nullo, il vettore $((vec v)/(||vec v||))$ è un vettore unità, ed è cercando di dimostrarlo, cioè facendo la norma di questo nuovo vettore, che mi è venuto il dubbio sulla norma della norma di un vettore!
Ogni prodotto scalare induce una norma, non vale il viceversa.
La norma euclidea è una norma indotta dal prodotto scalare.
La norma euclidea è una norma indotta dal prodotto scalare.
Quindi ogni prodotto scalare definisce una sua norma nel modo che scrive il mio libro, ma non è la norma ad essere in generale definita da un prodotto scalare, giusto?
Comunque se è vero che non sempre la norma della norma di un vettore dà la norma del vettore, come si dimostra che il vettore $((vec v)/(||vec v||))$ è un vettore unità, senza specificare un prodotto scalare?
Comunque se è vero che non sempre la norma della norma di un vettore dà la norma del vettore, come si dimostra che il vettore $((vec v)/(||vec v||))$ è un vettore unità, senza specificare un prodotto scalare?
Se lavori in uno spazio Euclideo, essendo uno spazio di Hilbert è munito della sua bella norma (norma Euclidea), allora vale che: $N(N(vec v))=N(vec v)$.
E perciò: $N(vec v/(N(v)))=(N(vec v))/(N(N(vec v)))=(N(vec v))/(N(vec v))=1$.
E perciò: $N(vec v/(N(v)))=(N(vec v))/(N(N(vec v)))=(N(vec v))/(N(vec v))=1$.
Così si dimostra che è vero se la norma è quella euclidea, cioè quella legata al prodotto scalare canonico di R^(2), il libro non specifica quale sia il prodotto scalare, da come lo scrive si intende che questa proprietà vale per un qualsiasi prodotto scalare di uno spazio Euclideo e quindi per qualsiasi norma esso induca, per questo mi chiedo come si dimostri...
"delta38":
la norma della norma di un vettore
Occhio, però...
Una norma è una funzione che agisce sui vettori e restituisce uno scalare positivo (cioè una cosa del tipo \(\| \cdot \|: \mathbb{V}\to [0,+\infty[\)), quindi non ha senso parlare di "norma della norma di un vettore" perchè la norma di un vettore è uno scalare, non un vettore.
Perciò la scrittura \(\| (\|\vec{v}\|)\|\) non ha alcun senso.
Tuttavia, si può sempre calcolare il valore assoluto della norma di un vettore, i.e. \(\Big| \| \vec{v}\|\Big|\), e dato che la norma è per definizione un numero \(\geq 0\), trovi sempre:
\[
\Big| \| \vec{v}\|\Big| = \| \vec{v}\|\; .
\]
@Gugo
Io sapevo che la norma euclidea in $RR^1$ degenera nel valore assoluto, non è così?
Io sapevo che la norma euclidea in $RR^1$ degenera nel valore assoluto, non è così?
Infatti anch'io avevo riflettuto su questa cosa, la norma è definita per un vettore non per uno scalare, quindi non avrebbe senso...però allora se devo dimostrare che il vettore $(vec v)/(||vec v||)$ è un vettore unità, devo fare:
$||((vec v)/(||vec v||))||$=$(||vec v||)/((||(||vec v||)||))$ quindi mi trovo a fare la norma della norma, anche se non ha senso
$||((vec v)/(||vec v||))||$=$(||vec v||)/((||(||vec v||)||))$ quindi mi trovo a fare la norma della norma, anche se non ha senso
"lordb":
@Gugo
Io sapevo che la norma euclidea in $RR^1$ degenera nel valore assoluto, non è così?
Se fosse così allora la cosa è chiara!
"lordb":
@Gugo
Io sapevo che la norma euclidea in $RR^1$ degenera nel valore assoluto, non è così?
Non c'entra nulla.
Quando leggo "norma della norma di un vettore" leggo una cosa sbagliata, perchè nessuno si è premurato di chiarire cosa sia la "norma di un numero" prima.
Grazie!
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