Non riesco ad interpretare questo esercizio ...
Premettendo che tutti gli appelli di algebra lineare danno gli stessi esercizi (Applicazioni lineari, Sistema parametrico, Autovalori, Geometria in $RR^3$), stavolta mi è capitata una domanda sulle applicazioni lineari che non riesco a capire ... 
Sia $T : RR^3 -> RR^4$
$T(x_1, x_2, x_3) = (x_1 – 2x_3, x_2 + 4x_3, 2x_1 + 3x_2 + 8x_3, x_1 + 2x_2 + 6x_3)$
Determinare:
a) la matrice A associata a T rispetto alle basi canoniche di $RR^3$ e $RR^4$
OK la base canonica di $RR^3$, ma $RR^4$?
Cioè, con la base canonica di $RR^3$ devo fare il seguente (ripetivo e noioso) lavoretto:
$T(1,0,0) = "qualcosa"$
$T(0,1,0) = "qualcosa"$
$T(0,0,1) = "qualcosa"$
ed ottengo la matrice $A = (("qualcosa"),("qualcosa"),("qualcosa"))$
Ora con l' $RR^4$ che mi è stato dato, non è che, per caso, devo fare $T(x,y,z) = (1,0,0,0)$, e cosi via con le basi canoniche di $RR^4$, e ricavarmi di conseguenza $\vec x = (x,y,z)$?
Se si posso asserire, senza più alcun dubbio, che l' università è fatta solamente per passare gli esami (Non per la cultura) ...
Grazie per l' eventuale risposta ...
Sia $T : RR^3 -> RR^4$
$T(x_1, x_2, x_3) = (x_1 – 2x_3, x_2 + 4x_3, 2x_1 + 3x_2 + 8x_3, x_1 + 2x_2 + 6x_3)$
Determinare:
a) la matrice A associata a T rispetto alle basi canoniche di $RR^3$ e $RR^4$
OK la base canonica di $RR^3$, ma $RR^4$?
Cioè, con la base canonica di $RR^3$ devo fare il seguente (ripetivo e noioso) lavoretto:
$T(1,0,0) = "qualcosa"$
$T(0,1,0) = "qualcosa"$
$T(0,0,1) = "qualcosa"$
ed ottengo la matrice $A = (("qualcosa"),("qualcosa"),("qualcosa"))$
Ora con l' $RR^4$ che mi è stato dato, non è che, per caso, devo fare $T(x,y,z) = (1,0,0,0)$, e cosi via con le basi canoniche di $RR^4$, e ricavarmi di conseguenza $\vec x = (x,y,z)$?
Se si posso asserire, senza più alcun dubbio, che l' università è fatta solamente per passare gli esami (Non per la cultura) ...
Grazie per l' eventuale risposta ...
Risposte
Ti confesso che in prima battuta non capivo cosa non riesci a capire 
Poi mi sono reso conto che forse tu stai pensando a $RR^4$ in partenza (o no ??)
Comunque la risposta mi pare ovvia, se hai una applicazione lineare $T:RR^3\to RR^4$ la puoi descrivere come
matrice $A$ $4\times 3$ (sottintendedo che si mettono i vettori in colonna e si usa il prodotto matriciale righe per colonne)
UNA VOLTA CHE hai fissato una base in partenza e un base in arrivo. Nel caso in cui si prendano le basi canoniche sia in
partenza che in arrivo la matrice $A$ sara' fatta di tre colonne $A=(A^1,A^2,A^3)$ dove ogni $A^j$ e' il vettore (di $RR^4$)
corrispondente al trasformato mediante $T$ del $j$-esimo vettore della base di $RR^3$ .
Nel caso in esame, prendendo $((x_1),(x_2),(x_3))$ rispettivamente eguali a $((1),(0),(0))$ - $((0),(1),(0))$ - $((0),(0),(1))$, ottieni evidentemente
$A=((1,0,-2),(0,1,4),(2,3,8),(1,2,6))$
In tutto questo discorso conta il fatto che un vettore di $RR^N$ scritto rispetto alla base canonica "coincide con se' stesso"
Se invece ti avessero dato delle basi diverse (in partenza o in arrivo) con la stessa $T$ la matrice $A$ sarebbe cambiata.
Spero di non aver commesso errori, dato che sono un po' arrugginito con l'algebra lineare.
Poi mi sono reso conto che forse tu stai pensando a $RR^4$ in partenza (o no ??)
Comunque la risposta mi pare ovvia, se hai una applicazione lineare $T:RR^3\to RR^4$ la puoi descrivere come
matrice $A$ $4\times 3$ (sottintendedo che si mettono i vettori in colonna e si usa il prodotto matriciale righe per colonne)
UNA VOLTA CHE hai fissato una base in partenza e un base in arrivo. Nel caso in cui si prendano le basi canoniche sia in
partenza che in arrivo la matrice $A$ sara' fatta di tre colonne $A=(A^1,A^2,A^3)$ dove ogni $A^j$ e' il vettore (di $RR^4$)
corrispondente al trasformato mediante $T$ del $j$-esimo vettore della base di $RR^3$ .
Nel caso in esame, prendendo $((x_1),(x_2),(x_3))$ rispettivamente eguali a $((1),(0),(0))$ - $((0),(1),(0))$ - $((0),(0),(1))$, ottieni evidentemente
$A=((1,0,-2),(0,1,4),(2,3,8),(1,2,6))$
In tutto questo discorso conta il fatto che un vettore di $RR^N$ scritto rispetto alla base canonica "coincide con se' stesso"
Se invece ti avessero dato delle basi diverse (in partenza o in arrivo) con la stessa $T$ la matrice $A$ sarebbe cambiata.
Spero di non aver commesso errori, dato che sono un po' arrugginito con l'algebra lineare.
"ViciousGoblin":
Ti confesso che in prima battuta non capivo cosa non riesci a capire
Si, si sono confusi i linguaggi ...
La cosa che non capisco, non è tanto trovare la matrice rispetto alla base canonica $RR^3$, poichè basta banalmente "dare in pasto" alla $T(\vec x)$ i vettori della base canonica, ma piuttosto perchè è stato specificato di trovare la matrice rispetto alle basi canoniche di $RR^4$ ...
Questo trovare la matrice rispetto alle basi canoniche di $RR^4$ si riferisce al fatto che devo fare:
$T(x,y,z) = (1,0,0,0)$
$T(x,y,z) = (0,1,0,0)$
$T(x,y,z) = (0,0,1,0)$
$T(x,y,z) = (0,0,0,1)$
e trovarmi $\vec x = (x,y,z)$ di volta in volta, oppure è un ulteriore formalità, riferita al fatto di trovare $A = ((1,0,-2),(0,1,4),(2,3,8),(1,2,6))$?
"Mega-X":
[quote="ViciousGoblin"]Ti confesso che in prima battuta non capivo cosa non riesci a capire
Si, si sono confusi i linguaggi ...
La cosa che non capisco, non è tanto trovare la matrice rispetto alla base canonica $RR^3$, poichè basta banalmente "dare in pasto" alla $T(\vec x)$ i vettori della base canonica, ma piuttosto perchè è stato specificato di trovare la matrice rispetto alle basi canoniche di $RR^4$ ...
Questo trovare la matrice rispetto alle basi canoniche di $RR^4$ si riferisce al fatto che devo fare:
$T(x,y,z) = (1,0,0,0)$
$T(x,y,z) = (0,1,0,0)$
$T(x,y,z) = (0,0,1,0)$
$T(x,y,z) = (0,0,0,1)$
e trovarmi $\vec x = (x,y,z)$ di volta in volta, oppure è un ulteriore formalità, riferita al fatto di trovare $A = ((1,0,-2),(0,1,4),(2,3,8),(1,2,6))$?[/quote]
La seconda che hai detto - secondo me.
Se ti avessero dato la stessa $T$, specificando una base diversa per $RR^4$ la matrice sarebbe stata diversa. Avresti dovuto in tal caso esprimere i vettori
$((1),(0),(2),(1))$, $((0),(1),(3),(2))$ e $((-2),(4),(8),(6))$ rispetto a quest'altra ipotetica base.
Mega, saprai che per parlare di matrice associata ad un omomorfismo $T:V\to W$ ($V,W$ spazi vettoriali sullo stesso campo) bisogna fissare sia una base $B_V$ nello spazio di partenza sia una base $B_W$ nello spazio d'arrivo.
Il testo dell'esercizio ti specifica semplicemente che sia $B_(RR^3)$ sia $B_(RR^4)$ sono canoniche, di modo che le coordinate di ogni vettore coincidono con le sue componenti sia nello spazio di partenza che in quello d'arrivo.
Il testo dell'esercizio ti specifica semplicemente che sia $B_(RR^3)$ sia $B_(RR^4)$ sono canoniche, di modo che le coordinate di ogni vettore coincidono con le sue componenti sia nello spazio di partenza che in quello d'arrivo.
"Mega-X":
Se si posso asserire, senza più alcun dubbio, che l' università è fatta solamente per passare gli esami (Non per la cultura) ...
Non capisco bene cosa vuoi dire: in fondo l'approccio ad un esercizio non te lo impone mica l'università, lo decidi tu autonomamente.
"Martino":
[quote="Mega-X"]Se si posso asserire, senza più alcun dubbio, che l' università è fatta solamente per passare gli esami (Non per la cultura) ...
Non capisco bene cosa vuoi dire: in fondo l'approccio ad un esercizio non te lo impone mica l'università, lo decidi tu autonomamente.[/quote]
In effetti me lo chiedevo anch'io...
@Mega-X: dove studi? Unical? Giusto per curiosità.
"Gugo82":
@Mega-X: dove studi? Unical? Giusto per curiosità.
Esattamente.
Grazie per le risposte che mi avete dato.
Purtoppo sto diventando ingegnere informatico e ogni tanto ci scappa la domanda con risposta ovvia ...
Per quanto riguarda la ripetitività: Ok che uno decide come gli pare e piace la risoluzione di un esercizio, ma non è neanche possibile che si diano esercizi con questa ridondanza. Uno volendo potrebbe passare gli esami semplicemente guardandosi gli appelli (Tanto ogni appello ha gli stessi esercizi), informarsi che libro ha consigliato il professore di corso e di conseguenza impararsi le "pappardelle" contenute in questo libro, senza seguirsi le lezioni. Alla fine avremmo: Una persona che ha passato l' esame ma che alla fine non ha appreso nulla. Dunque, l' unica cosa che conta, alla fine, è passare gli esami.
"Mega-X":
Ok che uno decide come gli pare e piace la risoluzione di un esercizio, ma non è neanche possibile che si diano esercizi con questa ridondanza. Uno volendo potrebbe passare gli esami semplicemente guardandosi gli appelli (Tanto ogni appello ha gli stessi esercizi), informarsi che libro ha consigliato il professore di corso e di conseguenza impararsi le "pappardelle" contenute in questo libro, senza seguirsi le lezioni. Alla fine avremmo: Una persona che ha passato l' esame ma che alla fine non ha appreso nulla. Dunque, l' unica cosa che conta, alla fine, è passare gli esami.
Mi sembra che in questo ragionamento sei partito dal presupposto che l'unica cosa che conta è passare gli esami (vedi prima parte sottolineata) e ne hai dedotto che l'unica cosa che conta è passare gli esami (vedi seconda parte sottolineata). Quindi ancora non colgo quello che vuoi dire.
A me non piace studiare "per passare l'esame": piuttosto l'esame lo vedo come una sfida, tramite la quale misurare la mia preparazione. E la mia preparazione non dipende assolutamente dagli esercizi che vengono assegnati più frequentemente agli appelli o dalle domande più frequenti che fanno agli orali.
"Martino":
... sei partito dal presupposto che l'unica cosa che conta è passare gli esami (vedi prima parte sottolineata) ...
Eh si avevo mancato di dire che esistono gli appelli con le soluzioni degli esercizi ...
Dunque un fannullone potrebbe semplicemente guardarsi questi appelli con tanto di soluzione allegata, ed impararsi, di conseguenza, come risolvere l' esercizio tramite l' utilizzo della formuletta magica ...
Per fortuna questo fenomeno si è, in parte, attutito tramite l' istituzione degli orali obbligatori, dunque una persona è COSTRETTA a giustificare i suoi passaggi tramite le dimostrazioni.
Purtroppo esistono anche quei professori che vogliono le cose a memoria dal libro (Nel mio caso), dunque basta impararsi a memoria le definizioni e quant' altro. (Con il termine "a memoria" intendo senza ragionamenti, una semplice e fredda ripetizione di ciò che ci stà sul libro.)
OK si forse ho generalizzato "un pò" troppo (Un pò più di "un pò"
) a dire che gli esami servono soltanto ad essere superati, però non vorrei che questo fenomeno si espandesse fino ad essere una roba di ordinaria amministrazione."Martino":
A me non piace studiare "per passare l'esame": piuttosto l'esame lo vedo come una sfida, tramite la quale misurare la mia preparazione. E la mia preparazione non dipende assolutamente dagli esercizi che vengono assegnati più frequentemente agli appelli o dalle domande più frequenti che fanno agli orali.
Eh, questo riguarda alla mia "troppa" generalizzazione, vedi sopra!
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