Non mi torna la base del Ker di questa matrice
Ciao di nuovo,
sto svolgendo un esercizio e c'è un punti che non riesco a risolvere:
Esercizio: data $f:RR^4->RR^4$
$A=((3,5,-4,-4),(5,5,-2,-8),(8,10,-6,-12),(2,0,2,-4))$
determina se:
[list=i][*:bevrqpti]se è un applicazione lineare[/*:m:bevrqpti]
[*:bevrqpti]se è iniettiva[/*:m:bevrqpti]
[*:bevrqpti]se è suriettiva[/*:m:bevrqpti]
[*:bevrqpti]una base del Ker[/*:m:bevrqpti][/list:o:bevrqpti]
punto i:
Per essere un applicazione lineare deve preservare la chiusura rispetto alla somma e al prodotto per scalare. (e questo lo saltiamo)
punto ii:
$A$ è iniettiva solo se $rgA=n°\text(colonne di A)$, quindi per trovare il rango porto a scala la matrice:
divido la $III$ riga per $2$
$A=((3,5,-4,-4),(5,5,-2,-8),(4,5,-3,-6),(2,0,2,-4))$ $II=5/3I-II$, $III=4/3I-III$, $IV=2/3I-IV$
$A=((3,5,-4,-4),(0,10/3,-14/3,-4/3),(0,5/3,-7/3,2/3),(0,10/3,-14/3,4/3))$ moltiplico la$III$ riga per $3$ e poi la $II, IV$ per $3/2$ per semplificare un po' ed ottengo:
$A=((3,5,-4,-4),(0,5,-7,-2),(0,5,-7,2),(0,5,-7,2))$ da cui facilmente ottengo: $A=((3,5,-4,-4),(0,5,-7,-2),(0,0,0,-4),(0,0,0,0))$
quindi il rango di $A=3$ non è iniettiva! ha 4 righe e solo 3 pivot.
punto iii: come sopra: non è iniettiva perchè ha il numero di colonne maggiore del $rg A$.
Parentesi:
Per vedere se è iniettiva o suriettiva avrei anche potuto fare questo ragionamento:
iniettiva: studiare il sistema omogeneo associato: $Ax=0$ e vedere se il $KerA={0}$. In questo caso ottengo un vettore $((-z),(7/5z),(z),(0)) != ((0),(0),(0),(0))$ ne concludo che non è iniettiva.
Per vedere se è suriettiva avrei dovuto controllare che $ImA = RR^4$ ma la mia immagine è composta da $span$ il che rappresenta un $RR^3$ quindi non è suriettiva.
giusto?
punto iv:
qua... ehm... ho ragionato così: il $Ker A$ è dato da tutti i vettori del dominio che vengono mandati in $0$ da $A$, nel mio caso: $((-z),(7/5z),(z),(0))$ e giocando con $z$ posso ottenere delle basi... pero' sul libro dice che la base del Ker e' 2... dove ho toppato? so che $dimRR^n = dim ImA+dim KerA => 4=3+1$..
sto svolgendo un esercizio e c'è un punti che non riesco a risolvere:
Esercizio: data $f:RR^4->RR^4$
$A=((3,5,-4,-4),(5,5,-2,-8),(8,10,-6,-12),(2,0,2,-4))$
determina se:
[list=i][*:bevrqpti]se è un applicazione lineare[/*:m:bevrqpti]
[*:bevrqpti]se è iniettiva[/*:m:bevrqpti]
[*:bevrqpti]se è suriettiva[/*:m:bevrqpti]
[*:bevrqpti]una base del Ker[/*:m:bevrqpti][/list:o:bevrqpti]
punto i:
Per essere un applicazione lineare deve preservare la chiusura rispetto alla somma e al prodotto per scalare. (e questo lo saltiamo)
punto ii:
$A$ è iniettiva solo se $rgA=n°\text(colonne di A)$, quindi per trovare il rango porto a scala la matrice:
divido la $III$ riga per $2$
$A=((3,5,-4,-4),(5,5,-2,-8),(4,5,-3,-6),(2,0,2,-4))$ $II=5/3I-II$, $III=4/3I-III$, $IV=2/3I-IV$
$A=((3,5,-4,-4),(0,10/3,-14/3,-4/3),(0,5/3,-7/3,2/3),(0,10/3,-14/3,4/3))$ moltiplico la$III$ riga per $3$ e poi la $II, IV$ per $3/2$ per semplificare un po' ed ottengo:
$A=((3,5,-4,-4),(0,5,-7,-2),(0,5,-7,2),(0,5,-7,2))$ da cui facilmente ottengo: $A=((3,5,-4,-4),(0,5,-7,-2),(0,0,0,-4),(0,0,0,0))$
quindi il rango di $A=3$ non è iniettiva! ha 4 righe e solo 3 pivot.
punto iii: come sopra: non è iniettiva perchè ha il numero di colonne maggiore del $rg A$.
Parentesi:
Per vedere se è iniettiva o suriettiva avrei anche potuto fare questo ragionamento:
iniettiva: studiare il sistema omogeneo associato: $Ax=0$ e vedere se il $KerA={0}$. In questo caso ottengo un vettore $((-z),(7/5z),(z),(0)) != ((0),(0),(0),(0))$ ne concludo che non è iniettiva.
Per vedere se è suriettiva avrei dovuto controllare che $ImA = RR^4$ ma la mia immagine è composta da $span
giusto?
punto iv:
qua... ehm... ho ragionato così: il $Ker A$ è dato da tutti i vettori del dominio che vengono mandati in $0$ da $A$, nel mio caso: $((-z),(7/5z),(z),(0))$ e giocando con $z$ posso ottenere delle basi... pero' sul libro dice che la base del Ker e' 2... dove ho toppato? so che $dimRR^n = dim ImA+dim KerA => 4=3+1$..
Risposte
Non ho controllato dove hai commesso l'errore. Non ci sono dubbi che hai fatto l'errore riducendo a scala la matrice.
In certi casi è meglio guardare le cose come stanno e poi applicare le conoscenze teoriche.
La terza riga = I riga+ II riga.
La quarta riga= II riga- I riga
Non ci sono dubbi che la matrice assegnata ha rango $2$.
Le prime due colonne sono una base di $Imf$ e anche il nucleo a dimensione $2$.
In certi casi è meglio guardare le cose come stanno e poi applicare le conoscenze teoriche.
La terza riga = I riga+ II riga.
La quarta riga= II riga- I riga
Non ci sono dubbi che la matrice assegnata ha rango $2$.
Le prime due colonne sono una base di $Imf$ e anche il nucleo a dimensione $2$.
bah, non so proprio che fare... continuo a fare errori banali ...
rifacendo la matrice mi viene giusta:
$A=((3,5,-4,-4),(5,5,-2,-8),(8,10,-6,-12),(2,0,2,-4))$
Operazioni di semplificazione:
$II=5/3I-II$,
$III=8/3I-III$,
$IV=2/3I-IV$.
(poi moltiplico la matrice per $3$ in modo da togliere le frazioni {mi sembra piu 'facile fare i calcoli con interi...che pigro})
ottengo:
$A=((3,5,-4,-4),(0,10/3,-14/3,4/3),(0,10/3,-14/3,4/3),(0,10/3,-14/3,4/3)) => A=((9,15,-12,-12),(0,10,-14,4),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$
Quindi posto: $z, w \inRR$ scrivo le equazioni del risultato:
$\{(9x+15y-12z-12w=0),(10y-14z+4w=0),(z\inRR),(w\inRR):} => \{(x=5/9z+14/9w),(y=7/5z+4/10w):}$ non sono sicuro di come scrivere la soluzione...
$x((0),(0),(5/9),(14/9)) +y\((0),(0),(7/5),(2/5))$ ?? e da qua?
rifacendo la matrice mi viene giusta:
$A=((3,5,-4,-4),(5,5,-2,-8),(8,10,-6,-12),(2,0,2,-4))$
Operazioni di semplificazione:
$II=5/3I-II$,
$III=8/3I-III$,
$IV=2/3I-IV$.
(poi moltiplico la matrice per $3$ in modo da togliere le frazioni {mi sembra piu 'facile fare i calcoli con interi...che pigro})
ottengo:
$A=((3,5,-4,-4),(0,10/3,-14/3,4/3),(0,10/3,-14/3,4/3),(0,10/3,-14/3,4/3)) => A=((9,15,-12,-12),(0,10,-14,4),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$
Quindi posto: $z, w \inRR$ scrivo le equazioni del risultato:
$\{(9x+15y-12z-12w=0),(10y-14z+4w=0),(z\inRR),(w\inRR):} => \{(x=5/9z+14/9w),(y=7/5z+4/10w):}$ non sono sicuro di come scrivere la soluzione...
$x((0),(0),(5/9),(14/9)) +y\((0),(0),(7/5),(2/5))$ ?? e da qua?
Un pochino di attenzione non guasta:
$y=7/5z-2/5w$ e poi a ritroso $x=-z+2w$.
$S={(-h+2k,7/5h-2/5k,h,k) | h,kinRR}=<(-1,7/5,1,0),(2,-2/5,0,1)>$=
=$<(-5,7,5,0),(10,-2,0,5)>$
Una base di $Kerf$ è il sistema ${(-5,7,5,0),(10,-2,0,5)}$
E' un'applicazione lineare perchè indotta dalla matrice assegnata in partenza, non è iniettiva, non è suriettiva.
$y=7/5z-2/5w$ e poi a ritroso $x=-z+2w$.
$S={(-h+2k,7/5h-2/5k,h,k) | h,kinRR}=<(-1,7/5,1,0),(2,-2/5,0,1)>$=
=$<(-5,7,5,0),(10,-2,0,5)>$
Una base di $Kerf$ è il sistema ${(-5,7,5,0),(10,-2,0,5)}$
E' un'applicazione lineare perchè indotta dalla matrice assegnata in partenza, non è iniettiva, non è suriettiva.
scusami ancora ma non capisco cosa vuol dire
"weblan":
E' un'applicazione lineare perchè indotta dalla matrice assegnata in partenza
A dire il vero il testo è formulato in maniera, mi permetto, non completa.
Si scrive $f:RR^4toRR^4$ e poi in basso si scrive una matrice $4x4$.
Io personalmente non vedo nessuna applicazione lineare, si può solo dedurre che l'applicazione lineare è quella indotta dalla matrice assegnata e bisognerebbe precisare anche le basi di $RR^4$ una volta vista come base del dominio $RR^4$ e un'altra volta come base del codominio $RR^4$
Si scrive $f:RR^4toRR^4$ e poi in basso si scrive una matrice $4x4$.
Io personalmente non vedo nessuna applicazione lineare, si può solo dedurre che l'applicazione lineare è quella indotta dalla matrice assegnata e bisognerebbe precisare anche le basi di $RR^4$ una volta vista come base del dominio $RR^4$ e un'altra volta come base del codominio $RR^4$
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