No sottosuccessione convergente $=>$ successione=chiuso
Ciao, amici! Trovo sul mio libro di geometria (E. Sernesi, Geometria II, 3.2) che una successione \(\{x_n\}_{n\geq 1}\) è un insieme chiuso se non possiede sottosuccessioni convergenti (o se contiene il limite di ogni sottosuccessione convergente, cosa di cui mi è chiaro il motivo).
So che per un qualunque sottoinsieme $S$ di uno spazio topologico la sua chiusura è \(\bar{S}=S\cup D(S)\) dove \(D(S)\) è il derivato di $S$, cioè l'insime dei suoi punti di accumulazione.
Direi che il fatto che una successione \(S=\{x_n\}_{n\geq 1}\) è un insieme chiuso se non possiede sottosuccessioni convergenti possa essere dimostrato con il fatto che, se \(x\in D(S)\) allora $x$ è limite di una sottosuccessione di $S$ (quindi se non esistono sottosuccessioni convergenti \(D(S)=\emptyset\))...
Infatti direi che, detta \(\mathcal{N}(x)\) la famiglia degli intorni di $x$,\[x\in D(S)\iff\forall M\in\mathcal{N}(x),\text{ }(M\setminus\{x\})\cap S\ne\emptyset\]
mentre, data una sottosuccessione \(\{x_{n_k}\}\subset S\), direi che\[\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=x\iff\forall M\in\mathcal{N}(x),\text{ }\exists n(M)\in\mathbb{N}^+ : (n_k\geq n(M)\Rightarrow x_{n_k}\in M)\]
quindi mi sembrerebbe che, se \(\forall M\in\mathcal{N}(x),\text{ }(M\setminus\{x\})\cap S\ne\emptyset\), allora si possano scegliere da \(S=\{x_n\}\) degli \(x_{n_k}\) tali che \(\forall M\in\mathcal{N}(x)\text{ }(n_k\geq n(M)\Rightarrow x_{n_k}\in M)\), cioè tali che la loro (sotto)successione converga a $x$. Sbaglio?
\(\{\text{grazie}_n\}_{n\geq 1}\) a tutti!!!
So che per un qualunque sottoinsieme $S$ di uno spazio topologico la sua chiusura è \(\bar{S}=S\cup D(S)\) dove \(D(S)\) è il derivato di $S$, cioè l'insime dei suoi punti di accumulazione.
Direi che il fatto che una successione \(S=\{x_n\}_{n\geq 1}\) è un insieme chiuso se non possiede sottosuccessioni convergenti possa essere dimostrato con il fatto che, se \(x\in D(S)\) allora $x$ è limite di una sottosuccessione di $S$ (quindi se non esistono sottosuccessioni convergenti \(D(S)=\emptyset\))...
Infatti direi che, detta \(\mathcal{N}(x)\) la famiglia degli intorni di $x$,\[x\in D(S)\iff\forall M\in\mathcal{N}(x),\text{ }(M\setminus\{x\})\cap S\ne\emptyset\]
mentre, data una sottosuccessione \(\{x_{n_k}\}\subset S\), direi che\[\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=x\iff\forall M\in\mathcal{N}(x),\text{ }\exists n(M)\in\mathbb{N}^+ : (n_k\geq n(M)\Rightarrow x_{n_k}\in M)\]
quindi mi sembrerebbe che, se \(\forall M\in\mathcal{N}(x),\text{ }(M\setminus\{x\})\cap S\ne\emptyset\), allora si possano scegliere da \(S=\{x_n\}\) degli \(x_{n_k}\) tali che \(\forall M\in\mathcal{N}(x)\text{ }(n_k\geq n(M)\Rightarrow x_{n_k}\in M)\), cioè tali che la loro (sotto)successione converga a $x$. Sbaglio?
\(\{\text{grazie}_n\}_{n\geq 1}\) a tutti!!!
Risposte
Per la dimostrazione della prima si puo' prendere in considerazione la seguente affermazione: preso un punto che non appartiene alla successione, deve esistere necessariamente un aperto che lo contiene e che non interseca la successione. Analogamente per la seconda affermazione tra parentesi. Tu invece affermi che se un punto appartiene al derivato dell'insieme(numerabile) deve esistere necessariamente una sottosuccessione ivi convergente, questo e' pacifico in uno spazio metrico, ma non e' vero in generale.
\(\aleph_1\) grazie!!!!
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