Nello spazio euclideo determina...rette sghembe e minima dis
Per quanto riguarda il primo quesito penso sia importante trovarsi le equazioni parametriche delle rette.
$r:$ $((x),(y),(z)) = ((1),(-1),(1)) + ((k),(1),(2))t$
$s:$ $((x),(y),(z)) = ((0),(4),(4)) + ((1),(1),(2))w$
Ora due rette sono sghembe quando non so nè parallele nè incidenti? Provo ad immaginarmele ma non so se correttamente! Posso dire che se $k \ne 1$ non sono parallele, mentre per dire per quale valore di $k$ non sono incidenti posso mettere in colonna i parametri direttori e dire che la matrice ha rango massimo, essendo i due vettori indipendenti?come posso fare nel modo più veloce possibile?
Mi spiegate perchè per trovare la distanza minima dovrei trovarmi un vettore perpendicolare a tutte e due le rette, (imponendo che questo vettore abbia per entrame le rette il prodotto scalare uguale a zero con i parametri direttori) poi scegliere un punto di cordinate qualsiasi di ciascuna retta ($P$ e $Q$ per esempio) e proiettare il segmento $P - Q$ sulla direzione perpendicolare comune? Non mi è chiarissimo, grazie mille!
Risposte
"smaug":
Ora due rette sono sghembe quando non so nè parallele nè incidenti?
Si
Provo ad immaginarmele ma non so se correttamente! Posso dire che se $k \ne 1$ non sono parallele, mentre per dire per quale valore di $k$ non sono incidenti posso mettere in colonna i parametri direttori e dire che la matrice ha rango massimo, essendo i due vettori indipendenti?come posso fare nel modo più veloce possibile?
Smaug, pensa un po'...
$P \in r$
ma
$P !in s$
Quindi se sono parallele, potranno mai incontrarsi le due rette ?
Se sono sghembe, può essere che $r\in \pi$, dove $\pi$ è il piano a cui appartengono sia $P$ che $s$. Quindi calcoli il piano, la normale, ecc.
Mi spiegate perchè per trovare la distanza minima dovrei trovarmi un vettore perpendicolare a tutte e due le rette, (imponendo che questo vettore abbia per entrame le rette il prodotto scalare uguale a zero con i parametri direttori) poi scegliere un punto di cordinate qualsiasi di ciascuna retta ($P$ e $Q$ per esempio) e proiettare il segmento $P - Q$ sulla direzione perpendicolare comune? Non mi è chiarissimo, grazie mille!
Forse con due piani ti è più chiaro.
Hai due piani paralleli e non coincidenti.
Hai due punti a caso sui due piani, A e B.
Ci siamo che la distanza minima tra i due piani è la proiezione ortogonale di $\vec (AB)$ sulla perpendicolare ai piani ?
grazie per la risposta, l'ho letta ma ci devo pensare un attimino!
Quinzio dimmi se questo procedimento è corretto:
Una volta scritte le equazione parametriche dele rette, mi trovo il generico vettore differenza dei due parametri direttori (geometricamente cosa rappresenta?), impongo che il prodotto scalare di questo con ciascun parametro sia nullo, quindi impongo che siano ortogonali, dal sistema che ottengo, mi trovo i valori da inserire nelle equazione parametriche, ho così trovato due punti di ciascuna retta, tali per cui che facendone la distanza $||OP - OQ ||$ ho la minima distanza tra le rette?
Il punto b) come lo faresti?
Grazie
Una volta scritte le equazione parametriche dele rette, mi trovo il generico vettore differenza dei due parametri direttori (geometricamente cosa rappresenta?), impongo che il prodotto scalare di questo con ciascun parametro sia nullo, quindi impongo che siano ortogonali, dal sistema che ottengo, mi trovo i valori da inserire nelle equazione parametriche, ho così trovato due punti di ciascuna retta, tali per cui che facendone la distanza $||OP - OQ ||$ ho la minima distanza tra le rette?
Il punto b) come lo faresti?
Grazie
Si ma così devi risolvere un sistema ed è più complicato
Allora hai il punto P sulla retta r (ce l'hai già). Prendi un punto A sulla retta S, a caso $(0,4,4)$.
La differenza è un vettore, $v_1=(-1,5,3)$.
Fai la proiezione di questo sul vettore ortogonale a "r" e a "s".
$\vec n=r xx s = |(\veci,\vecj,\veck),(k,1,2),(1,1,2)|=(2-2k)\vec j+(k-1)\vec k $
Fatta la proiezione ortogonale $pr_n(v_1)=(\vec n \cdot \vec v_1)/(||\vec n||)$, la lunghezza della proiezione è la distanza minima.
Allora hai il punto P sulla retta r (ce l'hai già). Prendi un punto A sulla retta S, a caso $(0,4,4)$.
La differenza è un vettore, $v_1=(-1,5,3)$.
Fai la proiezione di questo sul vettore ortogonale a "r" e a "s".
$\vec n=r xx s = |(\veci,\vecj,\veck),(k,1,2),(1,1,2)|=(2-2k)\vec j+(k-1)\vec k $
Fatta la proiezione ortogonale $pr_n(v_1)=(\vec n \cdot \vec v_1)/(||\vec n||)$, la lunghezza della proiezione è la distanza minima.
"Quinzio":
Si ma così devi risolvere un sistema ed è più complicato
Allora hai il punto P sulla retta r (ce l'hai già). Prendi un punto A sulla retta S, a caso $(0,4,4)$.
La differenza è un vettore, $v_1=(-1,5,3)$.
Fai la proiezione di questo sul vettore ortogonale a "r" e a "s".
$\vec n=r xx s = |(\veci,\vecj,\veck),(k,1,2),(1,1,2)|=(2-2k)\vec j+(k-1)\vec k $
Fatta la proiezione ortogonale $pr_n(v_1)=(\vec n \cdot \vec v_1)/(||\vec n||)$, la lunghezza della proiezione è la distanza minima.
il vettore differenza di due punti generici (in questo caso dei termini noti) cosa è geometricamente? comunque trovo $v_1 = (-1,5,3)$ quindi poi faccio il prodotto vettoriale tra i parametri delle rette così trovo un vettore perpendicolare ad entrambe, e proietto $v_1$ su quest'ultimo? Io la scrivo così $pr_n(v_1) =( \vec v_1 \cdot \vec n) / ||\vec n||^2 \cdot \vec n$ e così trovo la minima distanza?
Scusa l'ignoranza sono d'accordo che $\vec n = \vec j (2 - 2k) +\ vec k (k-1)$ ma sarebbe quindi $\vec n = (0,2-2k,k-1)$
e se $k=1$ come trovo il piano che le contiene? dimmi se secondo te così è giusto:
impongo il passaggio per un punto di una delle due rette, (per esempio il termine noto) e scelgo come i due vettori di giacitura, i vettori direttori delle rette, dove in quella dove c'è $k$, prendo $k=1$ poichè è il valore per cui non sono sghembe...corretto? però così sono parallele...
up! e un piano che le contiene come lo trovo?
Il problema può essere risolto anche come segue.
Siano \(\displaystyle P(1,-1,1),Q(k+1,0,3) \) due punti di r e \(\displaystyle P'(0,4,4),Q'(-4,0,-4) \) due punti di s.
Prendendo P come origine, formiamo i vettori :
\(\displaystyle Q-P=(k,1,2),P'-P=(-1,5,3),Q'-P=(-5,1,-5) \)
Se questi tre vettori sono complanari allora anche le rette r ed s lo sono. Altrimenti sono sghembe.
Per poter decidere formiamo la matrice A delle componenti dei tre vettori :
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}k&1&2\\-1&5&3\\-5&1&-5\end{pmatrix} \)
Il determinante di A è :
\(\displaystyle det(A)=-28(k-1) \)
Pertanto possiamo concludere che :
a) Per \(\displaystyle k\neq 1 \) si ha \(\displaystyle det(A)\neq 0 \) e dunque le due rette sono sghembe. La minima distanza tra esse è un problema discusso e risolto sul Forum tante volte e quindi lo si può andare a cercare.
b) Per \(\displaystyle k=1 \) risulta \(\displaystyle det(A)=0 \) e dunque le due rette sono complanari. Per calcolare l'equazione del piano che le contiene si può fare in più modi. Per esempio si può ricercare il piano che passa per i punti P,P',Q'.
Oppure, più semplicemente, si ricerca il fascio di piani che passa per la retta s e che è di equazione :
1) \(\displaystyle \lambda(y-x-4)+\mu(2y-z-4)=0 \)
Imponendo il passaggio per P si ha:
\(\displaystyle 6\lambda +7\mu=0\)
Scegliendo \(\displaystyle \lambda=7,\mu=-6 \) e sostituendo nella (1), si ha il piano richiesto :
\(\displaystyle 7x+5y-6z+4=0 \)
Siano \(\displaystyle P(1,-1,1),Q(k+1,0,3) \) due punti di r e \(\displaystyle P'(0,4,4),Q'(-4,0,-4) \) due punti di s.
Prendendo P come origine, formiamo i vettori :
\(\displaystyle Q-P=(k,1,2),P'-P=(-1,5,3),Q'-P=(-5,1,-5) \)
Se questi tre vettori sono complanari allora anche le rette r ed s lo sono. Altrimenti sono sghembe.
Per poter decidere formiamo la matrice A delle componenti dei tre vettori :
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}k&1&2\\-1&5&3\\-5&1&-5\end{pmatrix} \)
Il determinante di A è :
\(\displaystyle det(A)=-28(k-1) \)
Pertanto possiamo concludere che :
a) Per \(\displaystyle k\neq 1 \) si ha \(\displaystyle det(A)\neq 0 \) e dunque le due rette sono sghembe. La minima distanza tra esse è un problema discusso e risolto sul Forum tante volte e quindi lo si può andare a cercare.
b) Per \(\displaystyle k=1 \) risulta \(\displaystyle det(A)=0 \) e dunque le due rette sono complanari. Per calcolare l'equazione del piano che le contiene si può fare in più modi. Per esempio si può ricercare il piano che passa per i punti P,P',Q'.
Oppure, più semplicemente, si ricerca il fascio di piani che passa per la retta s e che è di equazione :
1) \(\displaystyle \lambda(y-x-4)+\mu(2y-z-4)=0 \)
Imponendo il passaggio per P si ha:
\(\displaystyle 6\lambda +7\mu=0\)
Scegliendo \(\displaystyle \lambda=7,\mu=-6 \) e sostituendo nella (1), si ha il piano richiesto :
\(\displaystyle 7x+5y-6z+4=0 \)
Grazie mille
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