Nastro di Mobius ottenuto come insieme quoziente
Su una sfera, prendiamo la relazione R che identifica fra loro punti antipodali, cioè
$x R y\Leftrightarrow x=\pm y$
e restringiamola a un intorno dell'equatore U.
Come si prova che l'insieme quoziente è un nastro di Moebius, cioè è omeomorfo a alla superficie che si ottiene da un quadrato [-1,1]x[-1,1] identificando ogni punto (-1,y) con (1,-y)?
$x R y\Leftrightarrow x=\pm y$
e restringiamola a un intorno dell'equatore U.
Come si prova che l'insieme quoziente è un nastro di Moebius, cioè è omeomorfo a alla superficie che si ottiene da un quadrato [-1,1]x[-1,1] identificando ogni punto (-1,y) con (1,-y)?
Risposte
Io userei le coordinate sferiche!
Non è un esercizio calcolativo...in realtà il prof mi ha inviato una risposta, ma mi è indecifrabile.
Per esempio, chiamato M il nastro di moebius, U un intorno dell'equatore, $U^+$ l'intersezione di U con la calotta superiore, $U^-$ intersezione di U con la calotta inferiore, lui dice che rispetto alla trasformazione $x\mapsto -x$ U è invariante (sono daccordo) e anche $U^+$ è invariante. Di $U^+$ non sono assolutamente daccordo: infatti ciascun punto della calotta superiore viene inviata in un punto della calotta inferiore, quindi direi che $U^+$ non rimane invariato dalla trasformazione.
Poi in un altro punto dice che tagliando M lungo la sua faccia ottengo un anello. Ho provato con carta e colla (scusate il mio pragmatismo), ma una volta tagliato ottengo due nastri di Mobius piu sottili, non un anello.
Confuso al massimo!
Per esempio, chiamato M il nastro di moebius, U un intorno dell'equatore, $U^+$ l'intersezione di U con la calotta superiore, $U^-$ intersezione di U con la calotta inferiore, lui dice che rispetto alla trasformazione $x\mapsto -x$ U è invariante (sono daccordo) e anche $U^+$ è invariante. Di $U^+$ non sono assolutamente daccordo: infatti ciascun punto della calotta superiore viene inviata in un punto della calotta inferiore, quindi direi che $U^+$ non rimane invariato dalla trasformazione.
Poi in un altro punto dice che tagliando M lungo la sua faccia ottengo un anello. Ho provato con carta e colla (scusate il mio pragmatismo), ma una volta tagliato ottengo due nastri di Mobius piu sottili, non un anello.
Confuso al massimo!
Se non sbaglio, il ragionamento è analogo a quando generi \(\mathbb{R}P^2\) a partire da \(\mathbb{S}^2\) con l'identificazione che hai scritto. In questo caso tagli via due calotte sferiche e identifichi i punti di \(\mathcal{U}^+\) con \(\mathcal{U}^-\) lasciando invariati i punti sull'equatore, pertanto sul nastro di Möbius i due intorni \(\mathcal{U}^+,\,\mathcal{U}^-\) sono identificati.
Se tagli il nastro di Möbius a metà dovresti ottenere un anello con due avvolgimenti, se tagli a \(1/3\) mi pare che ottieni due nastri di Möbius: non hai tagliato a metà
Se tagli il nastro di Möbius a metà dovresti ottenere un anello con due avvolgimenti, se tagli a \(1/3\) mi pare che ottieni due nastri di Möbius: non hai tagliato a metà
Stavo per dare anch'io la stessa spiegazione; aggiungo solo il particolare (non da poco) che gli ambienti naturali per studiare il nastro di Möbius (e tutte le superfici [strike]lisce e[/strike] di Riemann compatte) sono gli spazi proiettivi (complessi), tale lo chiamo teorema di Riemann-Kodaira!
[ot]
Google non lo conosce È una versione del Thm. 6.1 che trovi qui?[/ot]
"j18eos":
teorema di Riemann-Kodaira!
Google non lo conosce
È una versione del Thm. 6.1 che trovi qui?[/ot]
[ot]Quella è una versione più generale, detta per l'appunto teorema dell'embedding di Kodaira; mi riferivo alla versione "\(\displaystyle 1\)-dimensionale" dovuta a Riemann. Per completezza, quest'ultima versione, ovvero quella originale, la chiamo teorema di Riemann-Kodaira, in quanto il secondo autore ha generalizzato un risultato del primo!
Questa è la parte della geometria algebrica che più mi piace.
[/ot]
Questa è la parte della geometria algebrica che più mi piace.
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