$n$ pivot non nulli $=>$ 1 soluzione

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Il manuale di algebra lineare che ho cominciato, lo Strang, dice che se, al termine dell'implementazione dell'algoritmo di eliminazione gaussiana su un sistema di $n$ equazioni lineari in $n$ incognite, si giunge ad avere $n$ elementi pivot non nulli, il sistema ha una ed una sola soluzione.
Mi sembra che, data la forma della matrice dei coefficienti al termine del processo, valga anche il viceversa, cioè che il sistema abbia una ed una sola soluzione se e solo se al termine dell'implementazione dell'algoritmo su tale sistema si hanno $n$ elementi pivot non nulli: giusto? Lo chiedo perché volevo mettere "se e solo se" in nota sul libro e, prima di scrivere stupidate e pasticciarlo, preferirei esserne certo...
Grazie di cuore a tutti!

[jitter1]

Ci provo:
Se la matrice ridotta non ha n pivot, ne avrà di meno, essendo una matrice n x n.
Se ne ha di meno, il numero di righe linearmente indipendenti è meno di n.
Quindi le soluzioni sono infinite.
Quindi è vero che vale "se e solo se".

Spero non sia un circolo vizioso. Ciao!

[DavideGenova1]

Anch'io ho pensato così: se il $k$-esimo pivot ottenuto con l'eliminazione gaussiana è nullo, mi pare appunto che si avrebbero $n-k+1$ righe con al più $n-k$ componenti non nulle e -dato che ovviamente ogni componente nulla è combinazione lineare di altre componenti nulle- mi pare che resti solo da verificare la dipendenza lineare delle altre $n-k$ componenti delle $n-k+1$ righe, ma $m+1$ vettori di dimensione $m$ sono necessariamente linearmente dipendenti, per cui la matrice ha righe (e colonne) linearmente dipendenti e direi quindi che le soluzioni sono infinite o nessuna.
$+oo$ grazie!!!