$n$-parallelepipedo e $n$-simplesso
Ciao, ragazz@! Studiando sul Sernesi ho un piccolo dubbio, che credo immotivato, su una cosetta: un $n$-parallelepipedo e ciò che un $n$-simplesso appartenente ad uno spazio affine reale \(\mathbf{A}\) "diventa" una volta che si assegni un prodotto scalare sullo spazio vettoriale associato ad \(\mathbf{A}\), giusto?
Grazie di cuore a tutti!
Grazie di cuore a tutti!
Risposte
Se non ricordo male un simplesso \(\displaystyle n \)-dimensionale è l'intersezione di tutti i parallelepipedi "costruibili con in punti dati". Specularmente un parallelepipedo si decompone nell'unione di \(\displaystyle n! \) simplessi.
Ma non so se questo chiarisce la tua perplessità.
Ma non so se questo chiarisce la tua perplessità.
$oo+$ grazie, Delirium! La mia perplessità nasce dal fatto che il Sernesi definisce il volume di un 2-parallelepipedo in uno spazio euclideo attraverso le coordinate dei punti che lo determinano (i vertici, direi), ma senza far riferimento al concetto di simplesso, nonostante fornisca come esempi il 2-parallelepipedo -il parallelogramma- e il 3-parallelepipedo, che, in uno spazio affine com'è quello euclideo direi essere rispettivamente un 2-simplesso e un 3-simplesso [no! 2-simplesso e 3-simplesso sono rispettivamente triangolo e tetraedro] ... e direi anche che lo stesso di possa dire di qualunque $n$-parallelepipedo... o no?
EDIT: tra parentesi quadre la correzione.
EDIT: tra parentesi quadre la correzione.
In effetti quello che ho detto sopra intorno all'intersezione potrebbe essere una mezza cazzata. Ho bisogno di riguardare gli appunti per cercare di capire il contesto dell'affermazione... Solo una cosa: il Sernesi definisce parallelogramma e simplesso (cioè dice che il simplesso è l'inviluppo convesso di \(\displaystyle n+1 \) punti in posizione generale nello spazio euclideo \(\displaystyle \mathbb{R}^m \) etc etc...)?
Spero di riuscire a trovare il tempo per risponderti, ché tue domande sono spesso interessanti, e dai risvolti non banali.
Spero di riuscire a trovare il tempo per risponderti, ché tue domande sono spesso interessanti, e dai risvolti non banali.
Il Sernesi definisce un $k$-simplesso di vertici $P_0,...,P_k$, che sono punti indipendenti di $\mathbf{A}$ spazio affine reale, come l'insieme dei punti $P\in\mathbf{A}$ tali che
\[\overrightarrow{P_0P}=t_1\overrightarrow{P_0P_1}+...+t_k\overrightarrow{P_0P_k}\]
con $t_1,...,t_k\geq 0$ e $\sum_{i=1}^{k} t_i\leq 1$. Se $k=2$ il 2-simplesso è definito come parallelogramma [sbagliato: si tratta di un triangolo!] individuato da $P_0,P_1,P_2$ e se $k=3$ il 3-simplesso è definito come parallelepipedo [no: è un tetraedro!] individuato da $P_0,P_1,P_2,P_3$ (pp. 100 e 101 di Geometria I). Direi proprio che sia equivalente a dire che un $k$-simplesso è l'inviluppo convesso di $k+1$ punti indipendenti...
Descrivendo invece spazi affini reali con prodotto scalare, spazi quindi euclidei, il Sernesi non definisce direttamente l'$n$-parallelepipedo, ma definisce il volume dell'$n$-parallelepipedo determinato da $A_0,...,A_n$ come valore assoluto del determinante che ha per righe la differenza tra le coordinate, rispetto ad un riferimento ortonormale, di ogni punto $A_1,...,A_n$ e quelle di $A_0$. In particolare -dice testualmente- per $n$=1,2,3 parleremo di lunghezza, area, volume di un segmento, di un parallelogramma, di un parallelepipedo rispettivamente. Quindi mi chiedevo se è giusto fare equivalere 2-simplessi/parallelogrammi affini, 3-simplessi/parallepipedi affini e in generale $n$-simplessi affini come definiti su $\mathbf{A}$, una volta che si sia definito un prodotto scalare su di esso e sia quindi $\mathbf{A}$ uno spazio euclideo, a 2-parallelepipedi/parallelogrammi (dotati di volume/area, che è ciò che il Sernesi definisce), 3-parallelepipedi/parallelepipedi e in generale $n$-parallelepipedi (dotati di volume)...
EDIT: Direi che mi sono sbagliato grossolanamente: l'$n$-simplesso è piuttosto l'analogo del tetraedro in $n$ dimensioni!
\[\overrightarrow{P_0P}=t_1\overrightarrow{P_0P_1}+...+t_k\overrightarrow{P_0P_k}\]
con $t_1,...,t_k\geq 0$ e $\sum_{i=1}^{k} t_i\leq 1$. Se $k=2$ il 2-simplesso è definito come parallelogramma [sbagliato: si tratta di un triangolo!] individuato da $P_0,P_1,P_2$ e se $k=3$ il 3-simplesso è definito come parallelepipedo [no: è un tetraedro!] individuato da $P_0,P_1,P_2,P_3$ (pp. 100 e 101 di Geometria I). Direi proprio che sia equivalente a dire che un $k$-simplesso è l'inviluppo convesso di $k+1$ punti indipendenti...
Descrivendo invece spazi affini reali con prodotto scalare, spazi quindi euclidei, il Sernesi non definisce direttamente l'$n$-parallelepipedo, ma definisce il volume dell'$n$-parallelepipedo determinato da $A_0,...,A_n$ come valore assoluto del determinante che ha per righe la differenza tra le coordinate, rispetto ad un riferimento ortonormale, di ogni punto $A_1,...,A_n$ e quelle di $A_0$. In particolare -dice testualmente- per $n$=1,2,3 parleremo di lunghezza, area, volume di un segmento, di un parallelogramma, di un parallelepipedo rispettivamente. Quindi mi chiedevo se è giusto fare equivalere 2-simplessi/parallelogrammi affini, 3-simplessi/parallepipedi affini e in generale $n$-simplessi affini come definiti su $\mathbf{A}$, una volta che si sia definito un prodotto scalare su di esso e sia quindi $\mathbf{A}$ uno spazio euclideo, a 2-parallelepipedi/parallelogrammi (dotati di volume/area, che è ciò che il Sernesi definisce), 3-parallelepipedi/parallelepipedi e in generale $n$-parallelepipedi (dotati di volume)...
EDIT: Direi che mi sono sbagliato grossolanamente: l'$n$-simplesso è piuttosto l'analogo del tetraedro in $n$ dimensioni!
Necroposto per segnalare la cantonata abominevole che avevo preso a chiunque avesse letto il mio post originario.
Direi che, piuttosto, un $n$-parallelepipedo di vertici $P_0,...,P_n$, che sono punti indipendenti di $\mathbf{A}$ spazio affine reale, sia l'insieme dei punti $P\in\mathbf{A}$ tali che\[\overrightarrow{P_0P}=t_1\overrightarrow{P_0P_1}+...+t_n\overrightarrow{P_0P_n}\]con $0\leq t_1,...,t_n\leq 1$ (senza vincoli sulla somma delle $t_i$).
Mi scuso con Delirium e con quanti altri abbiano letto il mio post se ho creato confusione...
Direi che, piuttosto, un $n$-parallelepipedo di vertici $P_0,...,P_n$, che sono punti indipendenti di $\mathbf{A}$ spazio affine reale, sia l'insieme dei punti $P\in\mathbf{A}$ tali che\[\overrightarrow{P_0P}=t_1\overrightarrow{P_0P_1}+...+t_n\overrightarrow{P_0P_n}\]con $0\leq t_1,...,t_n\leq 1$ (senza vincoli sulla somma delle $t_i$).
Mi scuso con Delirium e con quanti altri abbiano letto il mio post se ho creato confusione...
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