N come somma di due quadrati...

[leev]

Ciao!

Sia $r(n) := #{(a,b) in ZZ^2 | a^2 + b^2=n}$, cioè il numero delle rappresentazioni di $n$ come somma di due quadrati; come dimostrare che $(r(n))/4$ è una funzione moltiplicativa?

Sarà ovvio (visto che l'autore nn aggiunge niente a riguardo), però non mi riesce di dimostrarlo.

Qualcuno ha qualche idea?

grazie

[TomSawyer1]

Beh, dato che se $n=2^am$, con $a\ge0$, $r(n)=4\sum_{d|m}(-1)^{(d-1)/2}$, hai che, se $m=st$ con $\gcd(s,t)=1$, allora esistono divisori unici $d_1$ di $s$ e $d_2$ di $t$ tali che $d=d_1d_2$. Quindi $(r(n))/4=\sum_{d|st}(-1)^{(d-1)/2}=\sum_{d_1|s}\sum_{d_2|t}(-1)^{(d_1-1)/2}(-1)^{(d_2-1)/2}=\sum_{d_1|s}(-1)^{(d_1-1)/2}\sum_{d_2|t}(-1)^{(d_2-1)/2}$

[leev]

Non ho ben capito da dove deriva questa formula
$r(n) = 4 sum_{d|m} (-1)^((d-1)/2)$
inoltre nell'ultima linea verifichi che $(r(n))/4=(r(s))/4*(r(t))/4$, no? quindi consideri a=0?! (quindi n=m)

grazie

[TomSawyer1]

http://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html

Come ho scritto sopra, $a\ge0$, quindi $a$ puo' essere uguale a $0$.

Comunque, che proprieta' di $r(n)$ puoi usare? Dato che non conoscevi quella definizione.

[fields1]

"leev":Sia $r(n) := #{(a,b) in ZZ^2 | a^2 + b^2=n}$, cioè il numero delle rappresentazioni di $n$ come somma di due quadrati; come dimostrare che $(r(n))/4$ è una funzione moltiplicativa?

Si può dimostrare la tesi anche utilizzando gli interi di Gauss. Io l'ho fatto, ma non ho tempo per scrivere la soluzione, purtroppo.

[leev]

"Crook":http://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html

Come ho scritto sopra, $a\ge0$, quindi $a$ puo' essere uguale a $0$.

Comunque, che proprieta' di $r(n)$ puoi usare? Dato che non conoscevi quella definizione.

Ma ho incontrato questo $r(n)$ trattando le serie di Dirichlet, ma riguardo questa funzione ho visto solamente la definizione.

La formula che hai utilzzato nel primo post in effetti me la son ritrovata una pagina dopo, ma è data come conseguenza.