Mutue distanze tra vettori in una circonferenza
Buonasera, ho un problema con un esempio.
Parlando del piano $ RR^2 $, considerata la circonferenza di raggio $ 1 $, con centro nell'origine, la domanda è
"Quale è il numero massimo di vettori che è possibile prendere dentro essa in modo che
le loro mutue distanze siano maggiori di 1?"
Il prof ci ha detto che sono in numero finito sicuramente e ha fatto questo disegno
Ora io non ho capito, che significa considerare la mutua distanza tra due vettori? I vettori in questo caso sono
non paralleli
Cosa significa graficamente che questa distanza è maggiore di 1 ?
Parlando del piano $ RR^2 $, considerata la circonferenza di raggio $ 1 $, con centro nell'origine, la domanda è
"Quale è il numero massimo di vettori che è possibile prendere dentro essa in modo che
le loro mutue distanze siano maggiori di 1?"
Il prof ci ha detto che sono in numero finito sicuramente e ha fatto questo disegno
Ora io non ho capito, che significa considerare la mutua distanza tra due vettori? I vettori in questo caso sono
non paralleli
Cosa significa graficamente che questa distanza è maggiore di 1 ?
Risposte
Carino come esercizio.
Prendi $C={v inRR^2:||v||=1}$ che sarebbe l’insieme dei vettori che individua i punti sulla circonferenza unitaria.
Per seconda cosa la mutua distanza tra due vettori, nonché la loro distanza, è definita come la norma della loro differenza, ovvero: $d(v,w)=||v-w||$
Penso ti si chieda di trovare la cardinalita dell’insieme
Va notato intanto che $||v-w||geq1<=>||v-w||^2geq1$
Dalla seconda a destra puoi notare che
$1leq||v-w||^2=||v||^2+||w||^2-2(v*w)=2-2(v*w)$
Da cui si trova la condizione che $(v*w)leq1/2$
Ponendo attenzione sul fatto che si possa scrivere $(v*w)=||v||*||w||cos(theta)=cos(theta)$
Si ha la condizione $cos(theta)leq1/2$
Adesso sono in palestra, se ti dovesse servire altro dimmi pure, intanto devo riflettere sul fatto se siano veramente una quantità finita.
Prendi $C={v inRR^2:||v||=1}$ che sarebbe l’insieme dei vettori che individua i punti sulla circonferenza unitaria.
Per seconda cosa la mutua distanza tra due vettori, nonché la loro distanza, è definita come la norma della loro differenza, ovvero: $d(v,w)=||v-w||$
Penso ti si chieda di trovare la cardinalita dell’insieme
$D={(v,w)inCtimesC:||v-w||geq1}$
Va notato intanto che $||v-w||geq1<=>||v-w||^2geq1$
Dalla seconda a destra puoi notare che
$1leq||v-w||^2=||v||^2+||w||^2-2(v*w)=2-2(v*w)$
Da cui si trova la condizione che $(v*w)leq1/2$
Ponendo attenzione sul fatto che si possa scrivere $(v*w)=||v||*||w||cos(theta)=cos(theta)$
Si ha la condizione $cos(theta)leq1/2$
Adesso sono in palestra, se ti dovesse servire altro dimmi pure, intanto devo riflettere sul fatto se siano veramente una quantità finita.
Significa che ciascuno dei lati del poligono che hai disegnato nella figura deve avere lunghezza maggiore di $1$.
In pratica devi prendere un insieme di punti sulla circonferenza di modo che presi due punti qualunque da questo insieme, la distanza tra i due punti sia maggiore di uno (non a caso il prof ha disegnato un esagono inscritto nella circonferenza... infatti se fosse "maggiore o uguale a uno" anziché solo "maggiore", la risposta sarebbe "quasi" quel disegno).
In pratica devi prendere un insieme di punti sulla circonferenza di modo che presi due punti qualunque da questo insieme, la distanza tra i due punti sia maggiore di uno (non a caso il prof ha disegnato un esagono inscritto nella circonferenza... infatti se fosse "maggiore o uguale a uno" anziché solo "maggiore", la risposta sarebbe "quasi" quel disegno).
La distanza tra due vettori, graficamente è la lunghezza del segmento che congiunge le loro punte.
Puoi ricavarti la formula della distanza tra due punti, che coincide con quella della distanza tra due vettori di $R^2$, semplicemente facendo disegnini e usando il Teorema di Pitagora. In ogni caso se $v=(x,y),w=(x_1,y_1) rArr dist(v,w)=:||v-w||=sqrt((x-x_1)^2+(y-y_1)^2)$
Dapprima risolverò il caso in cui la distanza tra due vettori "vicini" è uguale ad $1$(metterò tra virgolette gli usi di parole improprie). Quindi tutto quello che andrò a fare sarà per ottenere il numero di vertici del poligono regolare con lato lungo uno inscritto nella circonferenza. In generale, per esempio è l'ungo $3/2$ potrebbe essere che non esiste un poligono regolare inscritto che abbia il lato di quella lunghezza, ma salterà tutto fuori dai conti.
Per cominciare ci serve un vettore di lunghezza $1$ che sia semplice perciò prenderò $v=(1,0)$. Ora ci serve un altro vettore $w=(x,y)$ tale che:
$1)$ Disti uno da $v$.
$2)$ Abbia lunghezza uno.
Imponiamo la prima condizione:
$(x-1)^2+y^2=1$ (vedi definizione sopra) forse ti aspetti una radice ma se ci pensi in questo caso non serve.
Da notare che questa è l'equazione di una circonferenza con centro in $v$ e raggio 1, potevamo scriverla direttamente. Così abbiamo trovato tutti i punti del piano che distano uno da $v$. A noi non servono tutti, e qui entra in gioco la seconda condizione:
Per trovare un vettore che ha lunghezza uno ora ci sono due strade:
possiamo intersecare l'equazione della circonferenza centrata in $v$ con la circonferenza goniometrica (centrata in zero) e le soluzioni del sistema saranno due vettori che soddisfano la $1$ e la $2$. Oppure possiamo imporre che il generico vettore la cui punta coincide con un punto della circonferenza centrata in $v$ abbia modulo $1$.
Comincio col secondo modo:
$x^2+1-2x+y^2=1 rArr x^2+y^2-2x=0 rArr $ $y=\pmsqrt(x(2-x))$ con $x(x-2)>=0$ (Se il lato non fosse stato lungo uno, non avremmo potuto semplificare i termini noti e i calcoli si sarebbero complicati leggermente)
Siamo passati da un equazione ad una funzione, e la condizione ci dice cos'è cambiato. In sostanza la funzione che abbiamo trovato rappresenta la metà della circonferenza originale che si trova nel primo quadrante(se scegliamo il più).
Perciò d'ora in poi consideriamo la funzione col segno più, se avessimo scelto meno non sarebbe cambiato nulla a livello concettuale.(Consiglio di disegnare tutto su https://www.desmos.com/calculator). La parte sotto è andata persa ma a noi interessa di trovare $un$ vettore che rispetti le due condizioni, $uno $ $qualunque$, poi vedremo perchè.
Non so se la cosa riuscirà ad essere intuitiva, ma ora abbiamo una forma esplicita per tutti i vettori che compongono questa semicirconferenza e sono della forma $(x,sqrt(x(2-x)))$. Bene, ora vogliamo che questo vettore abbia lunghezza $1$ percio calcoliamo il suo modulo che è: $x^2 + x(x-2)$ e imponiamolo uguale a $1$ $ rArr x^2 + x(2-x)=1 rArr x^2+2x-x^2=1 rArr x=1/2$ bene, ora abbiamo l'ascissa del nostro vettore, e abbiamo il legame tra ascissa e ordinata $y=sqrt(x(2-x))$ che calcolato in $x=1/2$ da $y=sqrt(3)/2$ Perciò il vettore cercato è $(1/2,sqrt(3)/2)$ ($(x,sqrt(x(2-x)))$) che ha lungezza uno e dista $1$ da $v$.
Notiamo che $1/2=cos(60)$(gradi), perciò questo vettore che abbiamo trovato è il "ruotato in senso antiorario di $60$ gradi del vettore $v$", perciò per ottenere il successivo basterà ruotare il precedente in senso antiorario (Puoi vedere la cosa come una successione definita per ricorrenza, ${(a_0=v),(a_(n+1)=R(a_n)):}$ dove $R(a_n)$ è una funzione che prende il vettore $a_n$ e lo ruota di $60$ gradi), ed ecco perchè ci basta un vettore qualunque che rispetta le condizioni, se ne avessimo trovato uno diverso, l'angolo tra $v$ e l'altro vettore sarebbe comunque stato di $60$ gradi. I vettori "vicini" che godono delle due proprietà sono in numero finito infatti abbiamo a disposizione 360 gradi, che sono un multiplo di 60 infatti $360/60=6$ perciò dopo sei rotazioni saremo ritornati esattamente al punto di partenza. Quindi la figura geometrica risultante è un esagono regolare.
Primo modo:
${((x-1)^2+y^2=1),(x^2+y^2=1):} rArr {(x^2-2x+1+y^2=1),(x^2+y^2=1):}$ Sottraendo membro a membro (prima meno seconda) si ottiene:
$-2x+1=-1 rArr x=1/2$ Sostituendo ora la $x$ trovata in una delle due equazioni e risolvendo per y si trova $y=\pmsqrt(3)/2$
Quindi i due vettori che rispettano le condizioni sono $(1/2,sqrt(3)/2)$ e $(1/2,-sqrt(3)/2)$
Visto che all'inizio ne ho parlato, risolviamo il caso più generale, quindi quando la distanza tra due vertici vicini è generica. Chiamiamo tale distanza $a$ numero reale positivo. Il procedimento resta identico:
${((x-1)^2+y^2=a^2),(x^2+y^2=1):} rArr {(x^2-2x+1+y^2=a^2),(x^2+y^2=1):}$ Sottraendo membro a membro (prima meno seconda) si ottiene:
$-2x-a^2=-1 rArr x=1-a^2/2$ Sostituendo ora la $x$ trovata in una delle due equazioni e risolvendo per y si trova $y=\pm a sqrt(1-a^2/4)$
Quindi i due vettori che rispettano le condizioni sono $(1-a^2/2,\pmasqrt(1-a^2/4))$
Perciò un vettore che dista $a$ da $v$ e che ha lungezza uno è $(1-a^2/2,asqrt(1-a^2/4))$
La figura risultante sarà un poligono regolare chiuso $iff 360/arccos(1-a^2/2)=n in N$
con $|1-a^2/2|<=1$ cioè $-2<=a<=2$
Per esempio per $a=sqrt(2)$ si ha $arccos(0)=90rArr360/90=4$ che da un quadrato.
Per $a=sqrt(3)$ si ha $arccos(1-3/2)=120 rArr360/120=3$ e la figura risultante è un triangolo.
Ma per $a=1/2$ si ha $arccos(1-1/8)=28.955..rArr360/28.955..=12.433..$ Non essendo un numero intero, siamo impossibilitati a fare 12.433... rotazioni e quindi non possiamo tornare al punto di partenza dopo un numero finito di passi. Nei casi precedenti invece il numero di rotazioni da eseguire è un numero intero perciò possiamo ritornare al punto di partenza cosi da chiudere la figura. Su quest'ultima affermazione non sono sicuro al 100%, sono ben accette dimostrazioni o confutazioni di questo fatto.
Puoi ricavarti la formula della distanza tra due punti, che coincide con quella della distanza tra due vettori di $R^2$, semplicemente facendo disegnini e usando il Teorema di Pitagora. In ogni caso se $v=(x,y),w=(x_1,y_1) rArr dist(v,w)=:||v-w||=sqrt((x-x_1)^2+(y-y_1)^2)$
Dapprima risolverò il caso in cui la distanza tra due vettori "vicini" è uguale ad $1$(metterò tra virgolette gli usi di parole improprie). Quindi tutto quello che andrò a fare sarà per ottenere il numero di vertici del poligono regolare con lato lungo uno inscritto nella circonferenza. In generale, per esempio è l'ungo $3/2$ potrebbe essere che non esiste un poligono regolare inscritto che abbia il lato di quella lunghezza, ma salterà tutto fuori dai conti.
Per cominciare ci serve un vettore di lunghezza $1$ che sia semplice perciò prenderò $v=(1,0)$. Ora ci serve un altro vettore $w=(x,y)$ tale che:
$1)$ Disti uno da $v$.
$2)$ Abbia lunghezza uno.
Imponiamo la prima condizione:
$(x-1)^2+y^2=1$ (vedi definizione sopra) forse ti aspetti una radice ma se ci pensi in questo caso non serve.
Da notare che questa è l'equazione di una circonferenza con centro in $v$ e raggio 1, potevamo scriverla direttamente. Così abbiamo trovato tutti i punti del piano che distano uno da $v$. A noi non servono tutti, e qui entra in gioco la seconda condizione:
Per trovare un vettore che ha lunghezza uno ora ci sono due strade:
possiamo intersecare l'equazione della circonferenza centrata in $v$ con la circonferenza goniometrica (centrata in zero) e le soluzioni del sistema saranno due vettori che soddisfano la $1$ e la $2$. Oppure possiamo imporre che il generico vettore la cui punta coincide con un punto della circonferenza centrata in $v$ abbia modulo $1$.
Comincio col secondo modo:
$x^2+1-2x+y^2=1 rArr x^2+y^2-2x=0 rArr $ $y=\pmsqrt(x(2-x))$ con $x(x-2)>=0$ (Se il lato non fosse stato lungo uno, non avremmo potuto semplificare i termini noti e i calcoli si sarebbero complicati leggermente)
Siamo passati da un equazione ad una funzione, e la condizione ci dice cos'è cambiato. In sostanza la funzione che abbiamo trovato rappresenta la metà della circonferenza originale che si trova nel primo quadrante(se scegliamo il più).
Perciò d'ora in poi consideriamo la funzione col segno più, se avessimo scelto meno non sarebbe cambiato nulla a livello concettuale.(Consiglio di disegnare tutto su https://www.desmos.com/calculator). La parte sotto è andata persa ma a noi interessa di trovare $un$ vettore che rispetti le due condizioni, $uno $ $qualunque$, poi vedremo perchè.
Non so se la cosa riuscirà ad essere intuitiva, ma ora abbiamo una forma esplicita per tutti i vettori che compongono questa semicirconferenza e sono della forma $(x,sqrt(x(2-x)))$. Bene, ora vogliamo che questo vettore abbia lunghezza $1$ percio calcoliamo il suo modulo che è: $x^2 + x(x-2)$ e imponiamolo uguale a $1$ $ rArr x^2 + x(2-x)=1 rArr x^2+2x-x^2=1 rArr x=1/2$ bene, ora abbiamo l'ascissa del nostro vettore, e abbiamo il legame tra ascissa e ordinata $y=sqrt(x(2-x))$ che calcolato in $x=1/2$ da $y=sqrt(3)/2$ Perciò il vettore cercato è $(1/2,sqrt(3)/2)$ ($(x,sqrt(x(2-x)))$) che ha lungezza uno e dista $1$ da $v$.
Notiamo che $1/2=cos(60)$(gradi), perciò questo vettore che abbiamo trovato è il "ruotato in senso antiorario di $60$ gradi del vettore $v$", perciò per ottenere il successivo basterà ruotare il precedente in senso antiorario (Puoi vedere la cosa come una successione definita per ricorrenza, ${(a_0=v),(a_(n+1)=R(a_n)):}$ dove $R(a_n)$ è una funzione che prende il vettore $a_n$ e lo ruota di $60$ gradi), ed ecco perchè ci basta un vettore qualunque che rispetta le condizioni, se ne avessimo trovato uno diverso, l'angolo tra $v$ e l'altro vettore sarebbe comunque stato di $60$ gradi. I vettori "vicini" che godono delle due proprietà sono in numero finito infatti abbiamo a disposizione 360 gradi, che sono un multiplo di 60 infatti $360/60=6$ perciò dopo sei rotazioni saremo ritornati esattamente al punto di partenza. Quindi la figura geometrica risultante è un esagono regolare.
Primo modo:
${((x-1)^2+y^2=1),(x^2+y^2=1):} rArr {(x^2-2x+1+y^2=1),(x^2+y^2=1):}$ Sottraendo membro a membro (prima meno seconda) si ottiene:
$-2x+1=-1 rArr x=1/2$ Sostituendo ora la $x$ trovata in una delle due equazioni e risolvendo per y si trova $y=\pmsqrt(3)/2$
Quindi i due vettori che rispettano le condizioni sono $(1/2,sqrt(3)/2)$ e $(1/2,-sqrt(3)/2)$
Visto che all'inizio ne ho parlato, risolviamo il caso più generale, quindi quando la distanza tra due vertici vicini è generica. Chiamiamo tale distanza $a$ numero reale positivo. Il procedimento resta identico:
${((x-1)^2+y^2=a^2),(x^2+y^2=1):} rArr {(x^2-2x+1+y^2=a^2),(x^2+y^2=1):}$ Sottraendo membro a membro (prima meno seconda) si ottiene:
$-2x-a^2=-1 rArr x=1-a^2/2$ Sostituendo ora la $x$ trovata in una delle due equazioni e risolvendo per y si trova $y=\pm a sqrt(1-a^2/4)$
Quindi i due vettori che rispettano le condizioni sono $(1-a^2/2,\pmasqrt(1-a^2/4))$
Perciò un vettore che dista $a$ da $v$ e che ha lungezza uno è $(1-a^2/2,asqrt(1-a^2/4))$
La figura risultante sarà un poligono regolare chiuso $iff 360/arccos(1-a^2/2)=n in N$
con $|1-a^2/2|<=1$ cioè $-2<=a<=2$
Per esempio per $a=sqrt(2)$ si ha $arccos(0)=90rArr360/90=4$ che da un quadrato.
Per $a=sqrt(3)$ si ha $arccos(1-3/2)=120 rArr360/120=3$ e la figura risultante è un triangolo.
Ma per $a=1/2$ si ha $arccos(1-1/8)=28.955..rArr360/28.955..=12.433..$ Non essendo un numero intero, siamo impossibilitati a fare 12.433... rotazioni e quindi non possiamo tornare al punto di partenza dopo un numero finito di passi. Nei casi precedenti invece il numero di rotazioni da eseguire è un numero intero perciò possiamo ritornare al punto di partenza cosi da chiudere la figura. Su quest'ultima affermazione non sono sicuro al 100%, sono ben accette dimostrazioni o confutazioni di questo fatto.
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