Mostrare che una palla chiusa non è totalmente limitata
Ciao
Mi viene chiesto di mostrare che la palla chiusa unitaria \(\displaystyle \overline{B(0,1)} \), benché limitata, non è totalmente limitata in \(\displaystyle (l_p, ||\cdot||_p) \).
Notazione: \(\displaystyle (l_p, ||\cdot||_p) \) è lo spazio delle successioni convergenti in norma \(\displaystyle p \), ovvero gli \(\displaystyle x = (x_1, x_2, \ldots ) \) tali che
\(\displaystyle \left( \sum_{i = 1}^{\infty} |x_i|^p \right)^{1/p}< \infty \)
Mi viene anche suggerito di usare la successione \(\displaystyle \{ e^{(n)} \}_{n \in \Bbb N} \), dove \(\displaystyle e_k^{(n)} = \delta_{nk} \)
Dovrei scegliere un \(\displaystyle \varepsilon \)-reticolo \(\displaystyle \{ x^{(1)}, \ldots, x^{(k)} \} \) di punti nella palla. Prendendo poi un punto \(\displaystyle x \in \overline{B(0,1)} \) dovrei mostrare che \(\displaystyle d(x,x^{(i)}) > 2 \; \forall x^{(i)} \in \{ x^{(1)}, \ldots, x^{(k)} \} \), ovvero che non sono in grado di costruire un reticolo.
Non trovo un tale \(\displaystyle x \) e la mia confusione aumenta
Grazie a tutti!
Mi viene chiesto di mostrare che la palla chiusa unitaria \(\displaystyle \overline{B(0,1)} \), benché limitata, non è totalmente limitata in \(\displaystyle (l_p, ||\cdot||_p) \).
Notazione: \(\displaystyle (l_p, ||\cdot||_p) \) è lo spazio delle successioni convergenti in norma \(\displaystyle p \), ovvero gli \(\displaystyle x = (x_1, x_2, \ldots ) \) tali che
\(\displaystyle \left( \sum_{i = 1}^{\infty} |x_i|^p \right)^{1/p}< \infty \)
Mi viene anche suggerito di usare la successione \(\displaystyle \{ e^{(n)} \}_{n \in \Bbb N} \), dove \(\displaystyle e_k^{(n)} = \delta_{nk} \)
Dovrei scegliere un \(\displaystyle \varepsilon \)-reticolo \(\displaystyle \{ x^{(1)}, \ldots, x^{(k)} \} \) di punti nella palla. Prendendo poi un punto \(\displaystyle x \in \overline{B(0,1)} \) dovrei mostrare che \(\displaystyle d(x,x^{(i)}) > 2 \; \forall x^{(i)} \in \{ x^{(1)}, \ldots, x^{(k)} \} \), ovvero che non sono in grado di costruire un reticolo.
Non trovo un tale \(\displaystyle x \) e la mia confusione aumenta
Grazie a tutti!
Risposte
Ciao 
Disuguaglianza triangolare alla mano, quanti elementi di $\{e^{(n)}\}_{n\in\mathbb N}$ ci possono stare in una palla aperta di raggio $1$?
Disuguaglianza triangolare alla mano, quanti elementi di $\{e^{(n)}\}_{n\in\mathbb N}$ ci possono stare in una palla aperta di raggio $1$?
Ciao coffee, grazie della risposta.
Direi che non ce ne sta nessuno, visto che la loro norma è 1. È evidente che non sto capendo qualcosa
Direi che non ce ne sta nessuno, visto che la loro norma è 1. È evidente che non sto capendo qualcosa
Intendo una palla aperta di raggio $1$ centrata in un punto generico, non necessariamente in $0$. Dato $x_0\in l_p$, è possibile che $B(x_0,1)$ contenga contemporaneamente $e^{(n)}$ ed $e^{(m)}$ con $n\ne m$?
\(\displaystyle || e^{(n)} - e^{(m)}||_p = 2^{1/p} < 2 \), quindi direi di si. Anche in \(\displaystyle \Bbb R^2 \) basta mettersi sul segmento congiungente \(\displaystyle (1,0) \, ; \, (0,1) \). Ma non so come sfruttare questo fatto 
Ti chiedo scusa, errore madornale mio! Pensavo al diametro e invece ho scritto ostinatamente raggio 
L'osservazione che avrebbe avuto senso era questa: dato che la distanza tra due punti di una palla di raggio $1/2$ è sempre minore di $1$, segue che $e^{(n)}$ ed $e^{(m)}$, con $n\ne m$, non possono essere contenuti in una stessa palla di raggio $1/2$. Se $\overline{B(0,1)}$ fosse totalmente limitata, ammetterebbe un $1/2$-reticolo $\{x^{(1)},\cdots,x^{(k)}\}$ e allora una delle bolle $B(x^{(1)},1/2),\cdots,B(x^{(k)},1/2)$ conterrebbe più di un elemento di $\{e^{(n)}\}_{n\in\mathbb N}$, in contraddizione con l'osservazione precedente.
L'osservazione che avrebbe avuto senso era questa: dato che la distanza tra due punti di una palla di raggio $1/2$ è sempre minore di $1$, segue che $e^{(n)}$ ed $e^{(m)}$, con $n\ne m$, non possono essere contenuti in una stessa palla di raggio $1/2$. Se $\overline{B(0,1)}$ fosse totalmente limitata, ammetterebbe un $1/2$-reticolo $\{x^{(1)},\cdots,x^{(k)}\}$ e allora una delle bolle $B(x^{(1)},1/2),\cdots,B(x^{(k)},1/2)$ conterrebbe più di un elemento di $\{e^{(n)}\}_{n\in\mathbb N}$, in contraddizione con l'osservazione precedente.
Tutto chiaro! Il trucco stava nell'arbitrarietà della grandezza del reticolo, e nel fatto che deve essere costituito da un numero finito di punti, mentre gli \(\displaystyle e^{(n)} \) sono infiniti.
Grazie
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