Mostrare che $U={BinM_2(R)|AB=0}$ è sottospazio di $M_2(R)$

[Ale461]

Sia $A= ((0,0),(3,-4))inM_2(R)$. Mostrare che $U={BinM_2(R)|AB=0}$ è sottospazio di $M_2(R)$ e calcolarne la dimensione. Determinare una base di $B_U$ di $U$ ed estenderla ad una base B di $M_2(R)$.
Aimè questa volta non so nemmeno come fare a sbagliare .

[Camillo]

Non sai come siano le matrici $B$ ; poni allora con la massima generalità possibile $B=((a,b),(c,d )) $ .
Considera che $AB=0 $ cioè il prodotto delle due matrici $ A, B $ deve essere la matrice nulla $((0,0),(0,0)) $ .
Esegui il prodotto delle due matrici e imponi che sia la matrice nulla.
Otterrai delle condizioni che legano $a,b,c,d $ .....

[Ale461]

Quindi..
$((0,0),(3,-4)) ((a,b),(c,d)) = ((0,0),(0,0))
Da cui:
$\{(3a-4c=0),(3b-4d=0):}$
ovvero
$\{(c=3/4a),(d=3/4b):}$
per cui $B=((a,b),(3/4a,3/4b))
riscrivendo..
$B = a((1,0),(3/4,0))+b((0,1),(0,3/4))
quindi una base $B_U$ potrebbe essere $A_1=((1,0),(3/4,0))$
Sperando di aver fatto le giuste deduzioni mi rimane il dubbio di come estendere $A_1$ ad una base di $B$

[Camillo]

La base che hai proposto non è corretta , qual è $dim B_(U) $?
E qual è $dim M_2(RR) $ ?

[Ale461]

Dovrebbe essere, rispettivamente, 2 e 1

[Camillo]

$dim B_U =2 $ in quanto hai 2 variabili libere :$a,b $ e quindi una base sarà composta da 2 matrici mentre $dim M_2(R) = 4 $ in quanto hai 4 variabili libere :$a,b,c,d $ e quindi una base di $M_2(R) $ è data ad es. da
$ ((1,0),(0,0)) ,((0,1),(0,0)) ,((0,0),(1,0)) ,((0,0),(0,1))$ .