Mostrare che la ciambella è una varietà topologica
mi aiutate a svolgere questo esercizio?
Trovare delle carte di [tex]\mathbb{R}^2[/tex] che ricoprano la superficie a ciambella con la seguente equazione:
[tex]\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&x=(R+r \cdot cos(\alpha)) \cdot cos(\beta) \\
&y=(R+r \cdot cos(\alpha)) \cdot sin(\beta) \\
&z= r \cdot sin(\alpha)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}[/tex]
riesco a dimostrare che è localmente euclideo solo facendo vedere che esiste un omeomorfismo tra la ciambella ed il toro 2, ma non riesco a trovare omeomorfismi espliciti tra aperti del piano e aperti della ciambella! Un'idea?
Trovare delle carte di [tex]\mathbb{R}^2[/tex] che ricoprano la superficie a ciambella con la seguente equazione:
[tex]\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&x=(R+r \cdot cos(\alpha)) \cdot cos(\beta) \\
&y=(R+r \cdot cos(\alpha)) \cdot sin(\beta) \\
&z= r \cdot sin(\alpha)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}[/tex]
riesco a dimostrare che è localmente euclideo solo facendo vedere che esiste un omeomorfismo tra la ciambella ed il toro 2, ma non riesco a trovare omeomorfismi espliciti tra aperti del piano e aperti della ciambella! Un'idea?
Risposte
Puoi per esempio provare che la ciambella (forse sarebbe meglio chiamarlo "toro") è omeomorfa a $S^1\times S^1$, dove $S^1={(u,v)\in RR^2: u^2+v^2=1}$.
Visto che $S^1$ è una varietà topologica, conosci le sue carte...poi puoi passare a carte della ciambella...
Visto che $S^1$ è una varietà topologica, conosci le sue carte...poi puoi passare a carte della ciambella...
beh si, ma $s^1 \times S^1 $ è il toro-2. Devo riuscire a farlo in modo "diretto" : il mio prof ha dato la funzione da $R^2$ che associa ai due numeri reali a,b il punto della ciambella ottenuto considerando a,b come gli angoli di parametrizzazione. Ha poi detto di adattarlo a diversi intervalli per mostrare che è un omeomorfismo tra aperti del piano e aperti della ciambella. Il punto è che non riesco proprio a sviluppare quest'idea
La ciambella [tex]T[/tex] è completamente ricoperta dalla mappa [tex]\psi:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to T[/tex] tale che
[tex]\psi(\alpha,\beta)=\left( (R+r\cos\alpha)\cos\beta, (R+r\cos\alpha)\sin\beta, r\sin\alpha \right)[/tex].
Il problema è che questa mappa non è ingettiva e quindi non può essere un omeomorfismo.
Prova a prendere come carte, le seguenti
i) [tex]\varphi_{11}:]0,2\pi[\times ]0,2\pi[\to C[/tex];
ii) [tex]\varphi_{12}:]0,2\pi[\times ]\pi,3\pi[ \to C[/tex];
iii) [tex]\varphi_{21}:]\pi,3\pi[ \times ]0,2\pi[\to C[/tex];
iv) [tex]\varphi_{22}:]\pi,3\pi[ \times ]\pi,3\pi[ \to C[/tex].
Tutte queste applicazioni sono le restrizioni di [tex]\psi[/tex] ai corrispondenti insiemi di definizione.
Dovresti ottenere l'atlante cercato.
[tex]\psi(\alpha,\beta)=\left( (R+r\cos\alpha)\cos\beta, (R+r\cos\alpha)\sin\beta, r\sin\alpha \right)[/tex].
Il problema è che questa mappa non è ingettiva e quindi non può essere un omeomorfismo.
Prova a prendere come carte, le seguenti
i) [tex]\varphi_{11}:]0,2\pi[\times ]0,2\pi[\to C[/tex];
ii) [tex]\varphi_{12}:]0,2\pi[\times ]\pi,3\pi[ \to C[/tex];
iii) [tex]\varphi_{21}:]\pi,3\pi[ \times ]0,2\pi[\to C[/tex];
iv) [tex]\varphi_{22}:]\pi,3\pi[ \times ]\pi,3\pi[ \to C[/tex].
Tutte queste applicazioni sono le restrizioni di [tex]\psi[/tex] ai corrispondenti insiemi di definizione.
Dovresti ottenere l'atlante cercato.
l'avevo pensato anche io, ma non riesco a trovare l'inversa! senza contare che devo anche dimostrare che i vari C sono aperti della ciambella, giusto?
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