Morfismi e nuclei
rega si può definire nucleo un applicazione senza parlare di morfismo??? o è necessario parlare di opereatori che conservano la somma e il prodotto
grazie a presto
grazie a presto
Risposte
Quindi mi confermate che nn serve che f sia un morfismo affinchè si possa parlare di nucleo di un applicazione???
Please rispondetemi altrimenti rimango col dubbio!!!
Please rispondetemi altrimenti rimango col dubbio!!!
Beh insomma "non serve" no...
Il fatto che nucleo di un morfismo sia in pratica l'insieme degli elementi portati nello 0 (del gruppo, dell'anello, dello spazio vettoriale) presuppone che ci sia dietro questo fatto. La funzione in quanto morfismo consente di "portare dentro" l'operazione (operazioni) in questione: ad esempio, per due gruppi $G$, $G'$ con operazioni $+$ (le chiamo uguali per comodità mia), allora $f:G->G'$ è un morfismo di gruppi se $f(x+y)=f(x)+f(y)$, $\forall x, y in G$. Se $0_(G')$ è l'elemento neutro di $G'$, $Ker f={x in G | f(x)=0_(G')}$. Ebbene io osservo che $f(x)=f(y)$ è equivalente a dire che $f(x)-f(y)=0_(G')$, ma solo perchè è un morfismo puoi dire che è equivalente a $f(x-y)=0_(G')$, cioè $x-y in Ker f$. Il legame cioè tra l'iniettività e la definizione di $Ker f$ (in senso stretto come insieme di elementi portati in 0) è fondamentale. Un legame del genere come spero di essere riuscito a farti vedere richiede che la funzione sia un morfismo.
In parole povere, puoi generalizzare a una funzione qualsiasi il concetto di $Ker$, ma perchè abbia senso considerare il nucleo come l'insieme degli elementi portati in 0 è opportuno (diciamo pure necessario) avere una funzione che sia anche un morfismo.
Spero di essermi spiegato (dubito...
)
Il fatto che nucleo di un morfismo sia in pratica l'insieme degli elementi portati nello 0 (del gruppo, dell'anello, dello spazio vettoriale) presuppone che ci sia dietro questo fatto. La funzione in quanto morfismo consente di "portare dentro" l'operazione (operazioni) in questione: ad esempio, per due gruppi $G$, $G'$ con operazioni $+$ (le chiamo uguali per comodità mia), allora $f:G->G'$ è un morfismo di gruppi se $f(x+y)=f(x)+f(y)$, $\forall x, y in G$. Se $0_(G')$ è l'elemento neutro di $G'$, $Ker f={x in G | f(x)=0_(G')}$. Ebbene io osservo che $f(x)=f(y)$ è equivalente a dire che $f(x)-f(y)=0_(G')$, ma solo perchè è un morfismo puoi dire che è equivalente a $f(x-y)=0_(G')$, cioè $x-y in Ker f$. Il legame cioè tra l'iniettività e la definizione di $Ker f$ (in senso stretto come insieme di elementi portati in 0) è fondamentale. Un legame del genere come spero di essere riuscito a farti vedere richiede che la funzione sia un morfismo.
In parole povere, puoi generalizzare a una funzione qualsiasi il concetto di $Ker$, ma perchè abbia senso considerare il nucleo come l'insieme degli elementi portati in 0 è opportuno (diciamo pure necessario) avere una funzione che sia anche un morfismo.
Spero di essermi spiegato (dubito...
)
"amel":
Spero di essermi spiegato (dubito...
spiegati meglio...è interessante
Lo dico solo per stimolare l'interesse a chi non ne abbia mai sentito parlare (magari mi prenderete per pazzo 
), spero interessi: una categoria è un 'universo' in cui esistono oggetti e morfismi tra oggetti che si possano comporre tra loro nel modo che conosciamo, ovvero dati due morfismi $X to Y$ e $Y to Z$ li possiamo comporre ottenendo un morfismo $X to Z$; inoltre per ogni oggetto X esiste un morfismo $X to X$ detto identità di X, tale che composto con ogni altro componibile (in ambo i sensi) non lo varii (insomma, la classica 'funzione identità' un po' generalizzata). Per esempio possiamo prendere come oggetti i gruppi (risp. gli anelli) e come morfismi gli omomorfismi di gruppi (risp. di anelli), oppure come oggetti gli spazi topologici e come morfismi le applicazioni continue ...
Possiamo considerare le proprietà seguenti per un fissato oggetto X di una categoria C:
i) per ogni oggetto Y di C esiste un unico morfismo $X to Y$ in C.
ii) per ogni oggetto Y di C esiste un unico morfismo $Y to X$ in C.
Se X verifica i) esso è detto oggetto iniziale di C, se verifica ii) esso è detto oggetto finale di C, se verifica i) e ii) esso è detto zero-oggetto di C.
Per esempio nella categoria degli insiemi, dove i morfismi sono semplicemente le applicazioni tra insiemi, il vuoto è un oggetto iniziale ma non finale, e ogni insieme con un solo elemento è un oggetto finale ma non iniziale; non ci sono zero-oggetti.
Nella categoria dei gruppi ogni gruppo di ordine 1 è uno zero-oggetto.
Nella categoria degli anelli, $ZZ$ è un oggetto iniziale.
Con questo linguaggio si è in qualche modo generalizzato il concetto di 'oggetto nullo', come puo' essere lo zero per la categoria degli anelli. Allora se in una data categoria C esiste uno zero-oggetto (chiamiamolo 0), se X e Y sono due oggetti di C possiamo definire il zero-morfismo $0:X to Y$ come la composizione di $X to 0$ con $0 to Y$. Un nucleo di un morfismo $f:X to Y$ è un morfismo $k:K to X$ tale che $f circ k=0$ e ogni volta che un morfismo $g:Z to X$ verifica $f circ g=0$, esso si fattorizza in modo unico attraverso k, ovvero esiste un unico morfismo $h:Z to K$ tale che $k circ h = g$.
In altre parole per ogni oggetto Z, l'insieme dei morfismi $Z to X$ che composti con f danno zero è identificato con l'insieme dei morfismi $Z to K$.
Questa è una proprietà universale che si puo' tradurre nei seguenti termini: dato un morfismo $f:X to Y$ nella categoria C che ammetta uno zero-oggetto 0, definiamo una categoria D dicendo che gli oggetti sono le coppie (Z,g) dove Z è un oggetto di C e $g:Z to X$ un morfismo in C tale che $f circ g = 0$, e i morfismi tra gli oggetti (Z,g) e (W,h) in D sono i morfismi $p:Z to W$ in C 'compatibili', cioè tali che $g=h circ p$. Allora un nucleo di f, se esiste, non è altro che un oggetto finale nella categoria D.
Tutto cio' potrebbe apparire complicato, ma una volta capito è davvero di una semplicità e di una genialità disarmanti.
Ritengo che se l'algebra piace, queste elucubrazioni siano equivalenti al meraviglioso paradiso della sintesi più estrema, altrimenti vengono viste come una complicazione inutile e improduttiva (inutile dire che a me l'algebra piace ).
Ciao
), spero interessi: una categoria è un 'universo' in cui esistono oggetti e morfismi tra oggetti che si possano comporre tra loro nel modo che conosciamo, ovvero dati due morfismi $X to Y$ e $Y to Z$ li possiamo comporre ottenendo un morfismo $X to Z$; inoltre per ogni oggetto X esiste un morfismo $X to X$ detto identità di X, tale che composto con ogni altro componibile (in ambo i sensi) non lo varii (insomma, la classica 'funzione identità' un po' generalizzata). Per esempio possiamo prendere come oggetti i gruppi (risp. gli anelli) e come morfismi gli omomorfismi di gruppi (risp. di anelli), oppure come oggetti gli spazi topologici e come morfismi le applicazioni continue ...Possiamo considerare le proprietà seguenti per un fissato oggetto X di una categoria C:
i) per ogni oggetto Y di C esiste un unico morfismo $X to Y$ in C.
ii) per ogni oggetto Y di C esiste un unico morfismo $Y to X$ in C.
Se X verifica i) esso è detto oggetto iniziale di C, se verifica ii) esso è detto oggetto finale di C, se verifica i) e ii) esso è detto zero-oggetto di C.
Per esempio nella categoria degli insiemi, dove i morfismi sono semplicemente le applicazioni tra insiemi, il vuoto è un oggetto iniziale ma non finale, e ogni insieme con un solo elemento è un oggetto finale ma non iniziale; non ci sono zero-oggetti.
Nella categoria dei gruppi ogni gruppo di ordine 1 è uno zero-oggetto.
Nella categoria degli anelli, $ZZ$ è un oggetto iniziale.
Con questo linguaggio si è in qualche modo generalizzato il concetto di 'oggetto nullo', come puo' essere lo zero per la categoria degli anelli. Allora se in una data categoria C esiste uno zero-oggetto (chiamiamolo 0), se X e Y sono due oggetti di C possiamo definire il zero-morfismo $0:X to Y$ come la composizione di $X to 0$ con $0 to Y$. Un nucleo di un morfismo $f:X to Y$ è un morfismo $k:K to X$ tale che $f circ k=0$ e ogni volta che un morfismo $g:Z to X$ verifica $f circ g=0$, esso si fattorizza in modo unico attraverso k, ovvero esiste un unico morfismo $h:Z to K$ tale che $k circ h = g$.
In altre parole per ogni oggetto Z, l'insieme dei morfismi $Z to X$ che composti con f danno zero è identificato con l'insieme dei morfismi $Z to K$.
Questa è una proprietà universale che si puo' tradurre nei seguenti termini: dato un morfismo $f:X to Y$ nella categoria C che ammetta uno zero-oggetto 0, definiamo una categoria D dicendo che gli oggetti sono le coppie (Z,g) dove Z è un oggetto di C e $g:Z to X$ un morfismo in C tale che $f circ g = 0$, e i morfismi tra gli oggetti (Z,g) e (W,h) in D sono i morfismi $p:Z to W$ in C 'compatibili', cioè tali che $g=h circ p$. Allora un nucleo di f, se esiste, non è altro che un oggetto finale nella categoria D.
Tutto cio' potrebbe apparire complicato, ma una volta capito è davvero di una semplicità e di una genialità disarmanti.
Ritengo che se l'algebra piace, queste elucubrazioni siano equivalenti al meraviglioso paradiso della sintesi più estrema, altrimenti vengono viste come una complicazione inutile e improduttiva (inutile dire che a me l'algebra piace
).Ciao
Lo vedo come un ragionamento raffinato ma ci vorrebbe un bel diagramma per rappresentalo
Comunque, se bisogna entrare nel mondo delle categorie, dei funtori 'n company , io consegno le armi...
Sono capace solo di fare ragionamenti con le mani (o forse neppure quelli...) e non ho mai visto quella teoria (comunque è interessante, eh, quindi chi vuole aggiungere qualcosa lo faccia pure).
, io consegno le armi...Sono capace solo di fare ragionamenti con le mani (o forse neppure quelli...) e non ho mai visto quella teoria (comunque è interessante, eh, quindi chi vuole aggiungere qualcosa lo faccia pure).
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