Moltiplicazione tra vettore e matrice da ricavare da autovalori e autovettori
Ciao ragazzi, ho un esercizio che credo di saper risolvere ma ho un dubbio sull'ultimo passaggio
Sia una matrice A 3x3 con autovalori 1 e 2. Sapendo che vettori colonna $ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $ , $ ( ( 2 ),( 2 ),( 1 ) ) $ appartengono ad autospazio V1, calcolare il prodotto:
A $ ( ( 1 ),( -1 ),( 2) ) $
La mia idea è quella di ricavare prima la matrice A dagli autovalori e vettori (scusate la struttura dei vettori ma sto ancora imparando ad usare il forum
)
Per l'autovalore 1:
$ ( ( x1 , y1 , z1 ),( x2 , y2 , z2 ),( x3 , y3 , z3 ) ) $ $ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $ = 1 $ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $
dalla moltiplicazione, nell'uguaglianza rimane solo la prima colonna di x1=1, x2=0 e x3=0
rifaccio lo stesso per autovalore 2 e metto in forma di equazioni cartesiane il tutto, in teoria mi ricavo i valori delle incognite per trovare la matrice A. Poi la moltiplico con il vettore colonna dato.
Cosa manca nel mio ragionamento?
Grazie e cordiali saluti!
Sia una matrice A 3x3 con autovalori 1 e 2. Sapendo che vettori colonna $ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $ , $ ( ( 2 ),( 2 ),( 1 ) ) $ appartengono ad autospazio V1, calcolare il prodotto:
A $ ( ( 1 ),( -1 ),( 2) ) $
La mia idea è quella di ricavare prima la matrice A dagli autovalori e vettori (scusate la struttura dei vettori ma sto ancora imparando ad usare il forum
)Per l'autovalore 1:
$ ( ( x1 , y1 , z1 ),( x2 , y2 , z2 ),( x3 , y3 , z3 ) ) $ $ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $ = 1 $ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $
dalla moltiplicazione, nell'uguaglianza rimane solo la prima colonna di x1=1, x2=0 e x3=0
rifaccio lo stesso per autovalore 2 e metto in forma di equazioni cartesiane il tutto, in teoria mi ricavo i valori delle incognite per trovare la matrice A. Poi la moltiplico con il vettore colonna dato.
Cosa manca nel mio ragionamento?
Grazie e cordiali saluti!
Risposte
Usa l'editor del forum per riscrivere il post che non si capisce nulla.
Sono in tram ma vedo una possibile soluzione.
Se $V1$ è l'autospazio relativo all'autovalore 1 e, cosa importante non presente nel testo riportato, la matrice A è simmetrica, allora la soluzione è $(1,-2,4)$
Sono in tram ma vedo una possibile soluzione.
Se $V1$ è l'autospazio relativo all'autovalore 1 e, cosa importante non presente nel testo riportato, la matrice A è simmetrica, allora la soluzione è $(1,-2,4)$
"Bokonon":
Usa l'editor del forum per riscrivere il post che non si capisce nulla.
Sono in tram ma vedo una possibile soluzione.
Se $V1$ è l'autospazio relativo all'autovalore 1 e, cosa importante non presente nel testo riportato, la matrice A è simmetrica, allora la soluzione è $(1,-2,4)$
Ciao! SI la matrice è simmetrica, la risposta è giusta, ho riscritto le matrici finalmente ho imparato! La procedura esatta qual è? Era giusto il mio ragionamento?
Hai incasinato i dati. Non era $ A( ( 1 ),( -1 ),( 2 ) )=? $
Senza fare tanti conti...
Visto che la matrice è simmetrica, gli autospazi sono perpendicolari. Si vede a occhio nudo che il vettore $(0,-1,2)$ è perpendicolare ad entrambi i vettori della base di $V_1$ ed la base/autovettore di $V_2$.
Ora, $(1,-1,2)=(1,0,0)+(0,-1,2)$ quindi $A(1,-1,2)=A(1,0,0)+A(0,-1,2)=1*(1,0,0)+2*(0,-1,2)=(1,-2,4)$
La ragione per cui ho dedotto che la matrice è simmetrica è che, diversamente, non avremmo avuto le info necessarie per trarre una conclusione.
Se vuoi trovare A, posso farti vedere come.
Senza fare tanti conti...
Visto che la matrice è simmetrica, gli autospazi sono perpendicolari. Si vede a occhio nudo che il vettore $(0,-1,2)$ è perpendicolare ad entrambi i vettori della base di $V_1$ ed la base/autovettore di $V_2$.
Ora, $(1,-1,2)=(1,0,0)+(0,-1,2)$ quindi $A(1,-1,2)=A(1,0,0)+A(0,-1,2)=1*(1,0,0)+2*(0,-1,2)=(1,-2,4)$
La ragione per cui ho dedotto che la matrice è simmetrica è che, diversamente, non avremmo avuto le info necessarie per trarre una conclusione.
Se vuoi trovare A, posso farti vedere come.
"Bokonon":
Hai incasinato i dati. Non era $ A( ( 1 ),( -1 ),( 2 ) )=? $
Senza fare tanti conti...
Visto che la matrice è simmetrica, gli autospazi sono perpendicolari. Si vede a occhio nudo che il vettore $(0,-1,2)$ è perpendicolare ad entrambi i vettori della base di $V_1$ ed la base/autovettore di $V_2$.
Ora, $(1,-1,2)=(1,0,0)+(0,-1,2)$ quindi $A(1,-1,2)=A(1,0,0)+A(0,-1,2)=1*(1,0,0)+2*(0,-1,2)=(1,-2,4)$
La ragione per cui ho dedotto che la matrice è simmetrica è che, diversamente, non avremmo avuto le info necessarie per trarre una conclusione.
Se vuoi trovare A, posso farti vedere come.
Ho corretto i dati, chiarissimo ora! Grazie mille per aver trovato uan strada più veloce. Si se riesci a farmi vedere come troviamo A sarebbe magnifico
"DriveKnight":
Si se riesci a farmi vedere come troviamo A sarebbe magnifico
Sappiamo che $A=SLambdaS^(-1)$ quindi se creiamo S mettendo in colonne gli autovettori secondo questo ordine (ma puoi scegliere l'ordine che vuoi) $ S=( ( 1 , 2 , 0 ),( 0 , 2 , -1 ),( 0 , 1 , 2 ) ) $ allora $ Lambda=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $
Inverti S e fai i conti. Oppure se non ami invertire le matrici, sfrutta il fatto che (in questo caso; vista la simmetria e quindi gli autospazi sono perpendicolari) esiste una base ortonormale tale che $A=QLambdaQ^(-1)=QLambdaQ^T$
Quindi basta trovarla e la sua inversa è la trasposta. Per trovarla, basta cercare una base ortogonale per $V_1$ (perchè $V_2$ ha dimensione 1 e sarà sempre ortogonale).
Senza usare Gram–Schmidt, si vede ad occhio che se teniamo il vettore $v_(11)=(1,0,0)$ e sostituiamo $v_(12)=(2,2,1)$ con la combinazione lineare $v_(13)=v_(12)-2*v_(11)=(0,2,1)$ questo è ancora un autovettore di $V_1$ ed è perpendicolare a $v_(11)$.
Quindi prendendo, nello stesso ordine di prima, i nuovi autovettori normalizzati abbiamo che $ Q=1/sqrt(5)( ( sqrt(5) , 0 , 0 ),( 0 , 2 , -1 ),( 0 , 1 , 2 ) ) $ (è meglio in questa forma per i calcoli, prova)
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