Moltiplicazione tra matrice e prodotto vettoriale

[Deimos90rm]

Buona sera, se M è una matrice nxn e a, b sono vettori nello spazio, è corretto scrivere

$ M(a^^ b)=(Ma)^^ (Mb) $ ?

[vict85]

I matematici evitano l'uso del wedge product \(\wedge\) per il prodotto vettoriale, perché esiste un'altra operazione con quel simbolo.

Comunque quella formula è sbagliata. A detta di wiki https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product la formula corretta è del tipo \(\displaystyle Ma\times Mb = (\det M)\; \vphantom{M}^{t}(M^{-1})(a\times b) \). Dove \(\displaystyle \vphantom{M}^{t}(M^{-1}) \) è la trasposta dell'inversa di \(\displaystyle M \). Per la dimostrazione dovrei mettermi a fare i calcoli.

[Sk_Anonymous]

"Deimos90rm":Buona sera, se M è una matrice nxn e a, b sono vettori nello spazio, è corretto scrivere

$ M(a^^ b)=(Ma)^^ (Mb) $ ?

Ciao.

Per quello che ricordo, il prodotto vettoriale è definibile solo in $RR^3$, quindi non avrebbe senso considerare $n!=3$.
Posto $n=3$, direi che la proprietà non è vera.

Controesempio:

$M=((2,0,0),(1,1,0),(0,0,1))$

$a=hati$, $b=hatj$

A meno di miei errori di calcolo, beninteso.

Saluti.

[vict85]

Sempre da wiki, ma lo si può comprendere facilmente da semplici considerazioni geometriche, quella formula è vera se e solo se \(M\) è una rotazione.

[Deimos90rm]

Infatti è una rotazione!!! Quindi in questo caso è vero... bene... Grazie mille! Avevo cercato su internet ma non ho visto nemmeno l'ombra di una matrice per un prodotto vettoriale.