Moltiplicazione: matrice per vettore

[ludwigZero]

Ho una matrice $Q$ quadrata, e due vettori $a$ e $b$:

$Qa * Qb = a*b$ dove $*$ sta per prodotto scalare

come si chiama tale proprietà? E' un teorema?

[dissonance]

No, è semplicemente una cosa falsa in generale. Le matrici che soddisfano quella proprietà si chiamano unitarie nel caso complesso e ortogonali nel caso reale.

[ludwigZero]

quindi dato che non sto lavorando nel campo complesso, dovrebbe scriversi così:
$Qa*(Q^T)b = a*b$
anche se devo essere sincero, non ho ben capito perchè il professore l'ha messo senza $Q^T$ (!)

[dissonance]

Senza trasposizione. Ha ragione il tuo prof. Nella definizione di prodotto scalare è già inclusa la trasposizione:

\[Qa \cdot Qb=(Qa)^TQb.\]

[ludwigZero]

ma nella definizione di prodotto tra matrice e vettore ..... se una matrice fosse:
$Q= ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$
$a = (1,2,3)$
$b(3,5,8)$ come cordinate, come si fa quel prodotto?

[dissonance]

Questa domanda non ha senso, o almeno, io non ho capito niente.

[ludwigZero]

volevo fare l'esempio numerico di due vettori $a$ e $b$ in $RR^3$ e una matrice $Q$ di quel tipo. Il prodotto matrice per vettori, ha come risultato finale (con i valori che ho dato io) semplicemente:
$a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$ ?

[dissonance]

Eh bè certo. Ma questa è una cosa stra-ovvia però. \(Q\) è la matrice identica quindi \(Qa=a, Qb=b\), e allora

\[Qa \cdot Qb=a\cdot b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z.\]

[ludwigZero]

mi sto perdendo in ovvietà me ne rendo conto, quindi anche se la matrice $Q$ fosse del tipo:
$Q =((1,9,0),(2,7,11),(1,1,2))$ dato che hai detto che nel prodotto scalare è già inclusa la trasposizione verrebbe:
$Q Q^T = I$ quindi rimarrebbe solo $a*b$

[dissonance]

Ma questo NON vale per tutte le matrici! Non è che per forza ogni matrice \(Q\) verifica \(Q^TQ=I\). Se lo fa essa si dice ortogonale e vale l'identità \(Qa\cdot Qb a\cdot b\) per ogni \(a, b \in \mathbb{R}^3\).

Questa matrice da te scritta NON è ortogonale, per esempio.