Moltiplicazione di uno scalare per una matrice quadrata (curiosa proprietà)
Salve a tutti.
Ho trovato un asserto la cui dimostrazione non mi è semplice a livello formale e riguarda il determinante di una matrice quadrata.
Vi si afferma che quest'ultimo rimane inalterato se si moltiplica ogni elemento per $ x^(i-j) $,
dove $ x $ è un qualsiasi scalare appartenente all'insieme dei reali ed i,j sono gli indici che identificano l'elemento matriciale in questione.
Qualitativamente pensando al determinante con sommatoria di termini costituiti ciascuno a loro volta da n prodotti degli elementi, presi con opportune caratteristiche, si può intuitivamente capire ma....a livello formale, qualcuno ha una idea?
Un saluto ed un grazie a tutti
A.
Ho trovato un asserto la cui dimostrazione non mi è semplice a livello formale e riguarda il determinante di una matrice quadrata.
Vi si afferma che quest'ultimo rimane inalterato se si moltiplica ogni elemento per $ x^(i-j) $,
dove $ x $ è un qualsiasi scalare appartenente all'insieme dei reali ed i,j sono gli indici che identificano l'elemento matriciale in questione.
Qualitativamente pensando al determinante con sommatoria di termini costituiti ciascuno a loro volta da n prodotti degli elementi, presi con opportune caratteristiche, si può intuitivamente capire ma....a livello formale, qualcuno ha una idea?
Un saluto ed un grazie a tutti
A.
Risposte
Il determinante è una somma algebrica di prodotti.
Ogni prodotto è composto prendendo un solo elemento da ogni riga e da ogni colonna cioè in ogni prodotto c'è un solo elemento per ogni riga e sono presenti tutte le righe, lo stesso per le colonne.
Se in ogni prodotto ordiniamo i fattori per il numero di riga, gli indici delle colonne formano tutte le permutazioni di ordine $n$
In una permutazione se spostiamo un elemento "a destra" aumentiamo di un posto la sua posizione però contemporaneamente ne spostiamo un altro "a sinistra" e ne diminuiamo la posizione.
Ne consegue che la somma algebrica dei vari $i-j$ in un prodotto (dove $i$ è l'indice di riga e $j$ è l'indice di colonna) è nulla.
In concreto significa che in ogni prodotto del determinante "modificato" troveremo tanti scalari $a$ quanti suoi reciproci $1/a$ ed il prodotto non cambia.
Cordialmente, Alex
Ogni prodotto è composto prendendo un solo elemento da ogni riga e da ogni colonna cioè in ogni prodotto c'è un solo elemento per ogni riga e sono presenti tutte le righe, lo stesso per le colonne.
Se in ogni prodotto ordiniamo i fattori per il numero di riga, gli indici delle colonne formano tutte le permutazioni di ordine $n$
In una permutazione se spostiamo un elemento "a destra" aumentiamo di un posto la sua posizione però contemporaneamente ne spostiamo un altro "a sinistra" e ne diminuiamo la posizione.
Ne consegue che la somma algebrica dei vari $i-j$ in un prodotto (dove $i$ è l'indice di riga e $j$ è l'indice di colonna) è nulla.
In concreto significa che in ogni prodotto del determinante "modificato" troveremo tanti scalari $a$ quanti suoi reciproci $1/a$ ed il prodotto non cambia.
Cordialmente, Alex
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