Molteplicità,prodotti scalari e vettoriali e altro...
Salve a tutti domani ho l'esame di geometria ma ancora ho un po' di dubbi....
1) ho capito che la molteplicità algebrica si vede dalle radici del polinomio caratteristico, però non riesco a capire quella geometrica: è la dimensione relativa all'autospazio di ogni autovalore determinato con il polinomio caratteristico? mi potete fare un esempio dove la molteplicità geometrica e quella algebrica non coincidono? ma se non coincidono non ci può essere diagonalizzazione o basta che quella geometrica sia uguale o minore a quella algebrica (per avere la diagonalizzazione)?
2) se faccio il prodotto scalare tra 2 vettori il vettore risultante cosa è?stessa domanda per il prodotto vettoriale...
3) la matrice di cambio di base è equivalente alla base degli autovettori messi in colonna?
se fate esempi mi fareste un grande favore....grazie mille in anticipo
1) ho capito che la molteplicità algebrica si vede dalle radici del polinomio caratteristico, però non riesco a capire quella geometrica: è la dimensione relativa all'autospazio di ogni autovalore determinato con il polinomio caratteristico? mi potete fare un esempio dove la molteplicità geometrica e quella algebrica non coincidono? ma se non coincidono non ci può essere diagonalizzazione o basta che quella geometrica sia uguale o minore a quella algebrica (per avere la diagonalizzazione)?
2) se faccio il prodotto scalare tra 2 vettori il vettore risultante cosa è?stessa domanda per il prodotto vettoriale...
3) la matrice di cambio di base è equivalente alla base degli autovettori messi in colonna?
se fate esempi mi fareste un grande favore....grazie mille in anticipo
Risposte
"ostyle":
Salve a tutti domani ho l'esame di geometria ma ancora ho un po' di dubbi....
1) ho capito che la molteplicità algebrica si vede dalle radici del polinomio caratteristico, però non riesco a capire quella geometrica: è la dimensione relativa all'autospazio di ogni autovalore determinato con il polinomio caratteristico? mi potete fare un esempio dove la molteplicità geometrica e quella algebrica non coincidono? ma se non coincidono non ci può essere diagonalizzazione o basta che quella geometrica sia uguale o minore a quella algebrica (per avere la diagonalizzazione)?
Sì, la molteplicità geometrica è la dimensione dell'autospazio relativo all'autovalore considerato. L'autospazio è per definizione $V_lambda={vinV|f(v)=lambdav}$ ... un modo per calcolarli è appunto attraverso la matrice associata all'endomorfismo, considerando il suo polinomio caratteristico, ma non è l'unico!
E sussiste il seguente teorema:$ f$ (o equivalentemente $A$, matrice associata ad $f$) è diagonalizzabile se e solo se il polinomio caratteristico è interamente scomponibile in $K$ e, per ogni autovalore, molteplicità algebrica e molteplicità geometrica coincidono.
In bocca al lupo per domani!
grazie mille per l'aiuto...quel link per dummies era proprio quello che cercavo
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