Molteplicita geometrica
Buongiorno. Io sono alle prime armi con Geometria, e sto tentando di studiare la diagonalizzazione e la forma canonica di Jordan. Vi ringrazio in anticipo dell'aiuto che spero mi darete.
Sia $\phi=((1,2,3),(0,1,0),(0,1,3))$
Si calcola facilmente che gli autovalori sono:
$\lambda_1=1, \lambda_2=3,$ dove $\lambda_1$ ha molteplicità algebrica 2 e $\lambda_2$ ha molteplicità algebrica 1.
Espongo il mio problema: sto studiando che la molteplicità geometrica di una matrice relativa ad un generico autovalore $\lambda_i$ è $\geq 1$. In particolare ora mi interessa la molteplicità geometrica relativa all'autovalore $\lambda_1$.
Se io calcolo $\phi_{\lambda}=(A-\lambda_1)$ ottengo la matrice
$\phi_{\lambda}=((0,2,3),(0,0,0),(0,1,2))$
Ora, ripeto, io sono alle primissime armi con geometria, quindi non capisco cosa mi sfugge:la molteplicità geometrica di $\phi$ è la nullità di $\phi_{\lambda},$ giusto? Ma il nucleo di $\phi_{\lambda}$ non ha dimensione zero? Non capisco come possa essere che $\text{null }\phi_{\lambda}\geq 1.$ Vi chiedo per favore di farmi notare cortesemente che cosa mi sta sfuggendo e, se il nucleo di $\phi_{\lambda}$ non è lo spazio generato dal vettore nullo (che ha dimensione zero, vero?), come si trova. Grazie!
Sia $\phi=((1,2,3),(0,1,0),(0,1,3))$
Si calcola facilmente che gli autovalori sono:
$\lambda_1=1, \lambda_2=3,$ dove $\lambda_1$ ha molteplicità algebrica 2 e $\lambda_2$ ha molteplicità algebrica 1.
Espongo il mio problema: sto studiando che la molteplicità geometrica di una matrice relativa ad un generico autovalore $\lambda_i$ è $\geq 1$. In particolare ora mi interessa la molteplicità geometrica relativa all'autovalore $\lambda_1$.
Se io calcolo $\phi_{\lambda}=(A-\lambda_1)$ ottengo la matrice
$\phi_{\lambda}=((0,2,3),(0,0,0),(0,1,2))$
Ora, ripeto, io sono alle primissime armi con geometria, quindi non capisco cosa mi sfugge:la molteplicità geometrica di $\phi$ è la nullità di $\phi_{\lambda},$ giusto? Ma il nucleo di $\phi_{\lambda}$ non ha dimensione zero? Non capisco come possa essere che $\text{null }\phi_{\lambda}\geq 1.$ Vi chiedo per favore di farmi notare cortesemente che cosa mi sta sfuggendo e, se il nucleo di $\phi_{\lambda}$ non è lo spazio generato dal vettore nullo (che ha dimensione zero, vero?), come si trova. Grazie!
Risposte
$\phi_{\lambda}$ ha una colonna nulla quindi di sicuro il suo nucleo non è banale. In particolare puoi far vedere che il vettore $(1,0,0)$ (e di conseguenza tutto lo spazio da lui generato) è nel nucleo. Inoltre risolvendo il sistema lineare è facile mostrare che il nuclo è esattamente il sottospazio generato da quel vettore e quindi in particolare la molteplicità geometrica di $\lambda_1$ è $1$.
Se qualcosa non ti torna chiedi pure...
Se qualcosa non ti torna chiedi pure...
Pappappero:
$\phi_{\lambda}$ ha una colonna nulla quindi di sicuro il suo nucleo non è banale. In particolare puoi far vedere che il vettore $(1,0,0)$ (e di conseguenza tutto lo spazio da lui generato) è nel nucleo. Inoltre risolvendo il sistema lineare è facile mostrare che il nuclo è esattamente il sottospazio generato da quel vettore e quindi in particolare la molteplicità geometrica di $\lambda_1$ è $1$.
Se qualcosa non ti torna chiedi pure...
Sì mi piacerebbe capire come si imposta il sistema che mi trova il nucleo di $\phi_{\lambda}.$
Scusa ma il sistema da risolvere non si riduce, essendoci una colonna ed una riga di zeri, al sistema $2\times 2$
${(2\alpha+3\beta=0),(\alpha+2\beta=0):}\iff{(\beta=0),(\alpha=0):}$?
Perché in tal caso sembra che il solo vettore che va a zero è il vettore nullo. Ma non ha senso perché stiamo parlando di vettori in 3 dimensioni, ed inoltre hai ragione te perché ogni vettore del tipo del tipo $(a, 0, 0)$ và a zero! Credo che non sto capendo su come calcolare il nucleo di una matrice con una riga e/o una colonna di zeri di zeri e, più grave, come impostare il sistema.vInoltre vorrei capire perché non mi cita il tuo messaggio. Scusa sono un principiante anche del forum.
Devi partire da un vettore di $RR^3$ generico $v = ((x), (y), (z))$ ed imporre $phi(v) = 0$.
Nel fare il prodotto righe per colonne dovrebbe risultare evidente che $phi(v)$ non dipende da $x$; quindi $x$ è un parametro che puoi scegliere arbitrariamente, mentre il sistema che hai scritto vincola $y$ e $z$.
La soluzione è quindi $(x, 0 , 0) = x ( 1 , 0 , 0)$. Dunque il nucleo di $phi$ è il sottospazio generato dal vettore $( 1 , 0 , 0 )$.
Nel fare il prodotto righe per colonne dovrebbe risultare evidente che $phi(v)$ non dipende da $x$; quindi $x$ è un parametro che puoi scegliere arbitrariamente, mentre il sistema che hai scritto vincola $y$ e $z$.
La soluzione è quindi $(x, 0 , 0) = x ( 1 , 0 , 0)$. Dunque il nucleo di $phi$ è il sottospazio generato dal vettore $( 1 , 0 , 0 )$.
Quando hai la matrice un matrice $A$, $m \times n$, puoi trovare il suo nucleo risolvendo il sistema lineare $A x = 0$ dove $x$ è un vettore di $n$ indeterminate.
In particolare in questo caso devi risolvere il sistema dato da:
$((0,2,3),(0,0,0),(0,1,2)) ((x),(y),(z)) = ((0),(0),(0))$,
da cui in effetti ottieni il sistema:
${(2y+3z=0),(y+2z=0):}$
la cui soluzione, nelle indeterminate $(x,y,z)$, è proprio lo spazio generato da $(1,0,0)$.
In sostanza trovare quel sistema va benissimo, ma poi devi ricordarti che stai lavorando con tre variabili, e che se una variabile non compare nelle equazioni del sistema, allora può assumere qualunque valore. In sostanza devi trovare i vettori $(x,y,z)$ che soddisfano delle condizioni. Se queste condizioni non richiedono nulla su $x$, allora $x$ può essere qualunque cosa.
In particolare in questo caso devi risolvere il sistema dato da:
$((0,2,3),(0,0,0),(0,1,2)) ((x),(y),(z)) = ((0),(0),(0))$,
da cui in effetti ottieni il sistema:
${(2y+3z=0),(y+2z=0):}$
la cui soluzione, nelle indeterminate $(x,y,z)$, è proprio lo spazio generato da $(1,0,0)$.
In sostanza trovare quel sistema va benissimo, ma poi devi ricordarti che stai lavorando con tre variabili, e che se una variabile non compare nelle equazioni del sistema, allora può assumere qualunque valore. In sostanza devi trovare i vettori $(x,y,z)$ che soddisfano delle condizioni. Se queste condizioni non richiedono nulla su $x$, allora $x$ può essere qualunque cosa.
È vero. Essendo la $x$ indeterminata ho $0=0$, che è vero $\forall x\in\mathbb{R}$. Vi ringrazio entrambi!
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