Molteplicità geometrica
ciao a tutti!
se io ho la molteplicità algebrica di un autovalore come faccio a calcolare la molteplicità geometrica del relativo autospazio?
grazie dell'aiuto
se io ho la molteplicità algebrica di un autovalore come faccio a calcolare la molteplicità geometrica del relativo autospazio?
grazie dell'aiuto
Risposte
"Dani88":
ciao a tutti!
se io ho la molteplicità algebrica di un autovalore come faccio a calcolare la molteplicità geometrica del relativo autospazio?
grazie dell'aiuto
Molteplicità geometrica = dimensione dell'autospazio = $dim ker(A - lambda*I)$ dove $A$ è la matrice dell'operatore che hai, e $lambda$ l'autovalore.
Operando elementarmente sulla matrice $A- \lambda I$ il kernel resta invariato. Ridotta la matrice "a scaletta" è facile vedere la dimensione del nucleo e anche trovare dei generatori per esso (visto che sai quanti ne devi trovare!)
Non penso che sia questo il punto. Secondo me dani88 voleva chiedere se c'è qualche nesso tra molteplicità algebrica e geometrica.
Che io sappia l'unico teorema al riguardo è: la molteplicità algebrica è maggiore o uguale della molteplicità geometrica, di conseguenza un operatore è diagonalizzabile se e solo se :
ha tutti gli autovalori nel campo di riferimento;
ogni autovalore ha uguali le molteplicità algebrica e geometrica.
Quindi se conosci le molteplicità algebriche non riesci a stabilire se l'operatore è diagonalizzabile, a meno che:
hai esattamente tanti autovalori quanto la dimensione del tuo spazio vettoriale, ovvero hai tutti gli autovalori e tutti con molteplicità algebrica uno $=>$ l'operatore è diagonalizzabile (consegue dal teorema di prima, tieni presente che ogni autovalore ha molt. geom. almeno 1, per definizione);
ti manca qualche autovalore, ovvero la somma delle molteplicità algebriche non raggiunge la dimensione dello spazio $=>$ l'operatore non è diagonalizzabile.
Spero di essere stato d'aiuto! ciao!
Che io sappia l'unico teorema al riguardo è: la molteplicità algebrica è maggiore o uguale della molteplicità geometrica, di conseguenza un operatore è diagonalizzabile se e solo se :
ha tutti gli autovalori nel campo di riferimento;
ogni autovalore ha uguali le molteplicità algebrica e geometrica.
Quindi se conosci le molteplicità algebriche non riesci a stabilire se l'operatore è diagonalizzabile, a meno che:
hai esattamente tanti autovalori quanto la dimensione del tuo spazio vettoriale, ovvero hai tutti gli autovalori e tutti con molteplicità algebrica uno $=>$ l'operatore è diagonalizzabile (consegue dal teorema di prima, tieni presente che ogni autovalore ha molt. geom. almeno 1, per definizione);
ti manca qualche autovalore, ovvero la somma delle molteplicità algebriche non raggiunge la dimensione dello spazio $=>$ l'operatore non è diagonalizzabile.
Spero di essere stato d'aiuto! ciao!
"Dani88":
ciao a tutti!
se io ho la molteplicità algebrica di un autovalore come faccio a calcolare la molteplicità geometrica del relativo autospazio?
grazie dell'aiuto
La molteplicità geometrica sta ad indicare quanti autovettori lin. indip. è possibile trovare relativamente ad
un assegnato autovalore $\lambda$ della trasformazione lineare considerata.
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