Molteplicità geom. matrici tridiagonali hermitiane irruducib

[lele1982]

Buongiorno a tutti, ho un dubbio sulla molteplicità geometrica di una matrice tridiagonale irriducibile,
le matrici hermitiane sono diagonalizzabili (dal teorema di Schur) e quindi molteplicità algebrica e molteplicità geometrica sono uguali per ogni autovalore.
Nel caso in cui prendessimo una matrice T tridiagonale irriducibile e simmetrica:

[tex]\[ \left(
\begin{array}{ccc}
a1 & b1 & 0 \\
b1 & a2 & b2 \\
0 & b2 & a3
\end{array}
\right) \][/tex]


e quindi se prendessimo y autovalore di T


allora si avrebbe che la matrice T-yI è uguale a

[tex]\[ \left(
\begin{array}{ccc}
a1-y & b1 & 0 \\
b1 & a2-y & b2 \\
0 & b2 & a3-y
\end{array}
\right) \][/tex]

e dovremmo avere che la molteplicità geometrica di (T-yI) sia uguale a 1, ovvero che la dimensione del nucleo di essa sia uguale a 1, solo che non riesco a capirne il motivo.
Perchè la matrice non ha rango massimo?Da cosa lo si deduce?

[blackbishop13]

perchè dovrebbe avere rango massimo?

fatti un esempio e vedrai che è possibile

[cirasa]

"lele1982":Perchè la matrice non ha rango massimo?Da cosa lo si deduce?

Dal fatto che $y$ è autovalore di $T$.
Infatti se $y$ è autovalore significa che esiste un autovettore $v$ non nullo tale che $T(v)=yv$.
Quindi $(T-yI)(v)=0$ ovvero $v\in Ker(T-yI)$.
Quindi il nucleo di $T-yI$ è non banale, $T-yI$ non è un isomorfismo e la matrice associata non ha rango massimo.

Sul fatto che la molteplicità geometrica di $y$ deve essere $1$ non sono d'accordo. Potrebbe essere anche $2$ o $3$. L'importante è che coincida con la molteplicità algebrica (in quanto $T$ è diagonalizzabile).

Spero di averti aiutato, ciao!

Edit: Scusa Black per la sovrapposizione, non avevo visto la tua risposta

[lele1982]

Grazie per la risposta.
Forse ho capito anche perchè la molteplicità geometrica dev'essere uguale a 1: una matrice tridiagonale hermitiana ha autovalori reali e distinti, questo implica che le molteplicità algebriche saranno uguali a 1, e siccome la matrice è diagonalizzabile allora le molteplicità algebrica e geometrica coincideranno, quindi la molteplicità geometrica sarà uguale a 1.
Secondo voi è un ragionamento esatto?

[lele1982]

up

[cirasa]

Continuo a non essere d'accordo. Non mi sembra giusta questa frase:

"lele1982": [...] una matrice tridiagonale hermitiana ha autovalori reali e distinti [...]

Prendi ad esempio la matrice
$A=((2,0,0),(0,2,0),(0,0,1))$
$A$ è diagonale (e a maggior ragione tridiagonale), hermitiana (ovviamente diagonalizzzabile) ma ha solo due autovalori, $2$ con molteplicità algebrica $2$ e $1$ con molteplicità $1$.

[lele1982]

Sì, scusami. E' stato un mio errore, ho tralasciato una cosa importante (che tra l'altro vedrò di non tralasciare all'orale), la matrice tridiagonale hermitiana deve anche essere irriducibile.
Quindi la matrice ha autovalori reali, in quanto è hermitiana, infatti dalla forma normale di schur si ha:
[tex]A = U T U^H

A^H = U T^H U^H[/tex]
quindi
[tex]T = T^H \Leftrightarrow T = D \varepsilon R[/tex]
perciò si ha
[tex]A = U D U^H[/tex]

ed essendo diagonalizzabile ha autovalori distinti.

Le molteplicità algebrica e geometrica coincidono in quanto la matrice è diagonalizzabile.

Adesso, riguardando i miei appunti ho che, se prendo [tex]\lambda[/tex] autovalore di [tex]A[/tex], ho la molteplicità geometrica [tex]\tau_\lambda = dim kernel(A - \lambda I)[/tex]

ad esempio si ha la matrice

[tex]\[ \left(
\begin{array}{cccc}
a1-\lambda & b1 & 0 & 0 \\
b1 & a2 - \lambda & b2 & 0 \\
0 & b2 & a3-\lambda & b3 \\
0 & 0 & b3 & a4-\lambda
\end{array}
\right) \][/tex]

ed in questo caso ho [tex]dim kernel(A - \lambda I) + dim I_m (A - \lambda I) = 4[/tex]

Seguendo nei miei appunti ho che , una matrice tridiagonale hermitiana irriducibile ha autovalori reali e distinti e quindi la molteplicità geometrica è uguale a 1.

Adesso mi/vi chiedo, il fatto che la molteplicità geometrica sia uguale a 1, dipende dal fatto che gli autovalori sono distinti?

[cirasa]

E allora sono io che mi devo scusare.
In realtà che la matrice dovesse essere irriducibile, l'avevi detto fin dall'inizio, ma mi era sfuggito.
A dir la verità non avevo mai sentito parlare di "matrice irriducibile" e quindi non avevo capito la tua domanda.

Mi sono documentato un po'.
Se non ho capito male da quanto ho letto da appunti sparsi in rete, in una matrice tridiagonale irriducibile tutti i $b_i$ ($i=1,...,n-1$, ove $n$ è l'ordine della matrice) sono non nulli (giusto? Spero di non dire fesserie!).
Ora, sia $lambda$ un autovalore della matrice.
La molteplicità geometrica di $lambda$ (che è uguale alla molteplicità geometrica) è uguale a $n-r$ dove $r$ è il rango di $A-lambda I_n$
(dalla formula da te citata $dim\ ker(A-lambda I)+dim\ Im(A-lambda I)=n$)
Ma il rango di $A-lambda I$ è $n-1$ (basta considerare il minore di ordine $n-1$ in alto a destra di $A-lambda I$ che è non nullo perchè il suo determinante è il prodotto dei $b_i$).
Pertanto la molteplicità geometrica di $lambda$ è $n-(n-1)=1$.

Prendi tutto con le molle perchè non conoscevo il concetto di matrice irriducibile. Spero di non aver detto fesserie.
Ciao!

[lele1982]

Proprio quello che cercavo...guardavo i minori ma non riuscivo a collegarli col determinante!
Grazie mille per la risposta.

PS: hai capito bene!Una matrice tridiagonale irriducibile è una matrice che ha elementi sottodiagonali diversi da zero.
(Scusate il linguaggio non appropriato, ma sono un informatico e non un matematico )

[cirasa]

Figurati, è stato un piacere.
Grazie a te ho imparato qualcosa di nuovo

E comunque mentre googleggiavo un po' ho visto un certo "lele" che ha postato lo stesso esercizio in un forum di informatici di Pisa...
Non ti fidavi di noi???
[size=75](Scherzo ovviamente)[/size]

Ciao! Buono studio!