Molteplicita' di autovalori invariante?
Salve, studiavo come al solito geometria e non ho capito :
cos'e' la molteplicita' di un autovalore soluzione del polinomio caratteristico di un endomorfismo rispetto a una base dello spazio vettoriale ...
in che modo tale molteplicita' e' invariante e per quale assurdo motivo c'entra con le dimensioni dell'autospazio... :s
cos'e' la molteplicita' di un autovalore soluzione del polinomio caratteristico di un endomorfismo rispetto a una base dello spazio vettoriale ...
in che modo tale molteplicita' e' invariante e per quale assurdo motivo c'entra con le dimensioni dell'autospazio... :s
Risposte
Alcune delle cose che chiedi sono alquanto standard... Mi limito a dimostrare l'invarianza del polinomio caratteristico per effetto di un cambio di base.
Si consideri allora un endomorfismo T di uno spazio vettoriale V su un campo K ( o più in generale un omomorfismo dallo spazio vettoriale V allo spazio vettoriale U su di un campo generico ).
Sia M ( matrice quadrata) la rappresentazione matriciale di T rispetto ad una base b', N ( matrice quadrata ) la rappresentazione matriciale di T rispetto ad una diversa base b" e P la matrice (invertibile ) di passaggio dalla base b' alla base b". Siano inoltre \(\displaystyle p_{b'}(\lambda),p_{b"}(\lambda) \) i polinomi caratt. relativi a ciascuna delle due basi.
Com'è noto risulta :
\(\displaystyle N=P^{-1} M P \)
Pertanto avremo i seguenti passi :
\(\displaystyle det|N-\lambda I|= det|P^{-1} M P-\lambda I| =det|P^{-1}M P-\lambda P^{-1}P|\)
\(\displaystyle det|N-\lambda I |= det|P^{-1}M P -P^{-1} (\lambda I) P| \)
\(\displaystyle \displaystyle det|N-\lambda I |=det|P^{-1}(M-\lambda I)P| \)
\(\displaystyle det|N-\lambda I|=det|P^{-1}|\cdot det|M-\lambda I| \cdot det|P|=det| M-\lambda I| \)
Ovvero:
\(\displaystyle p_{b"}(\lambda) =p_{b'}(\lambda)\)
C.V.D.
Si consideri allora un endomorfismo T di uno spazio vettoriale V su un campo K ( o più in generale un omomorfismo dallo spazio vettoriale V allo spazio vettoriale U su di un campo generico ).
Sia M ( matrice quadrata) la rappresentazione matriciale di T rispetto ad una base b', N ( matrice quadrata ) la rappresentazione matriciale di T rispetto ad una diversa base b" e P la matrice (invertibile ) di passaggio dalla base b' alla base b". Siano inoltre \(\displaystyle p_{b'}(\lambda),p_{b"}(\lambda) \) i polinomi caratt. relativi a ciascuna delle due basi.
Com'è noto risulta :
\(\displaystyle N=P^{-1} M P \)
Pertanto avremo i seguenti passi :
\(\displaystyle det|N-\lambda I|= det|P^{-1} M P-\lambda I| =det|P^{-1}M P-\lambda P^{-1}P|\)
\(\displaystyle det|N-\lambda I |= det|P^{-1}M P -P^{-1} (\lambda I) P| \)
\(\displaystyle \displaystyle det|N-\lambda I |=det|P^{-1}(M-\lambda I)P| \)
\(\displaystyle det|N-\lambda I|=det|P^{-1}|\cdot det|M-\lambda I| \cdot det|P|=det| M-\lambda I| \)
Ovvero:
\(\displaystyle p_{b"}(\lambda) =p_{b'}(\lambda)\)
C.V.D.
Purtroppo non era la dimostrazione dell'invarianza del polinomio caratteristico che non avevo capito..quella era chiara.. 
quello che non capisco è (cerco di essere più preciso)
Perchè la molteplicità geometrica corrisponde alla dimensione dell'autospazio? Insomma è un nome o c'è un perchè?
E sopratutto cos'è una molteplicità geometrica? A cosa vuole riferirsi? Insomma tutte le dispense che ho letto ti dicono come fare a calcolarla ma non ti dicono perchè?
Non bastava la molteplicità algebrica degli autovalori soluzioni del polinomio caratteristico?
Insomma perchè la molteplicità geometrica( di cosa poi? Insomma la molteplicità delle soluzioni di un'equazione è facile da capire ma che cosa ha di molteplice un autospazio?) è la dimensione di un autospazio e in che modo questa cosa potrebbe servirmi?
quello che non capisco è (cerco di essere più preciso)
Perchè la molteplicità geometrica corrisponde alla dimensione dell'autospazio? Insomma è un nome o c'è un perchè?
E sopratutto cos'è una molteplicità geometrica? A cosa vuole riferirsi? Insomma tutte le dispense che ho letto ti dicono come fare a calcolarla ma non ti dicono perchè?
Non bastava la molteplicità algebrica degli autovalori soluzioni del polinomio caratteristico?
Insomma perchè la molteplicità geometrica( di cosa poi? Insomma la molteplicità delle soluzioni di un'equazione è facile da capire ma che cosa ha di molteplice un autospazio?) è la dimensione di un autospazio e in che modo questa cosa potrebbe servirmi?
Ti chiedi cosa abbia di molteplice un autospazio. La molteplicità in questione non è altro che il numero di vettori che compongono una base dell'autospazio corrispondente all'autovettore che si sta considerando. Mi sembra una definizione ragionevole, ben posta. Per esempio, se un certo autospazio ha una base formato da due vettori, da un punto di vista strettamente geometrico nessuno può dubitare che le dimensioni di quell'autospazio sia 2 in quanto ogni vettore dell'autospazio si può rappresentare come combinazione lineare di essi ...Tieni anche presente che un autovettore può avere una molteplicità algebrica diversa dalla molteplicità geometrica dell'autospazio corrispondente.
Tuttavia se la somma delle molteplicità geometriche di tutti gli autospazi trovati è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale dove quegli autospazi sono immersi, allora la matrice che rappresenta l'omomorfismo da studiare è diagonalizzabile . E questa è una cosa importante, come certamente saprai !
Tuttavia se la somma delle molteplicità geometriche di tutti gli autospazi trovati è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale dove quegli autospazi sono immersi, allora la matrice che rappresenta l'omomorfismo da studiare è diagonalizzabile . E questa è una cosa importante, come certamente saprai !
scusa vittorino e grazie per le pazienti risposte, mi ero impuntato su una cosa stupida..credo di aver capito..
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