Molteplicità algebrica
Ho un polinomio caratteristico così: (t-a)^3-t+a. Devo discutere la diagonalizzabilitá al variare di a. Ho pensato quindi di discuterla per a=0 e per a diverso da 0. In quest'ultimo caso trovo come autovalore 'a'. Ma la sua molteplicità algebrica qual'è?
Risposte
Postresti incominciare a esprimere il tuo polinomio come:
\begin{align} (t-a)^3-t+a &= t^3 -3at^2 +3a^2t - a^3 - t + a \\
&= t^3 -3at^2 +(3a^2 - 1)t - (a^3- a) \\
\end{align}
Ovviamente è utile porre \(\displaystyle a=0 \), infatti in quel caso diventa \(\displaystyle t^3 - t = t(t^2 - 1) = t(t+1)(t-1)\). A questo punto dovresti sapertela cavare.
Il caso più complicato. Una possibilità è volendo vedere se i divisori di \(\displaystyle (a^3- a) \) dividono il polinomio in stile Ruffini (sto andando a caso ovviamente*). Hai che \(\displaystyle a^3-a = a(a^2-1) = a(a+1)(a-1) \) (trovo questa simmetria con il caso \(\displaystyle a=0 \) incoraggiante).
A questo punto sostituisci e vedi che con \(\displaystyle t=a \)
\begin{align} a^3 -3aa^2 +(3a^2a - a) - (a^3- a) &= a^3 - 3a^3 + 3a^3 - a - a^3 + a = 0
\end{align}
Quindi \(\displaystyle a \) divide il nostro polinomio.
A questo punto sostituisci e vedi che con \(\displaystyle t=a+1 \)
\begin{align} & (a+1)^3 -3a(a+1)^2 +\bigl(3a^2(a+1) - (a+1)\bigr) - a^3 + a = \\
&= a^3 + 3a^2 + 3a + 1 - 3a^3 -6a^2 -3a + 3a^3 + 3a^2 -a -1 - a^3 + a = 0
\end{align}
Quindi \(\displaystyle a+1 \) divide il nostro polinomio.
A questo punto sostituisci e vedi che con \(\displaystyle t=a-1 \)
\begin{align} & (a-1)^3 -3a(a-1)^2 +\bigl(3a^2(a-1) - (a-1)\bigr) - a^3 + a = \\
&= a^3 - 3a^2 + 3a - 1 - 3a^3 +6a^2 -3a +3a^3 - 3a^2 -a +1 - a^3 + a = 0
\end{align}
E fortunatamente anche \(\displaystyle a-1 \) divide il nostro polinomio.
Perciò, con una certa dose di fortuna il tuo polinomio è \(\displaystyle (t-a)\bigl(t-(a+1)\bigr)\bigl(t-(a-1)\bigr) \). Quindi ci sono sempre 3 radici distinte.
* se non vuoi andare a caso puoi sempre guardarti la formula per fattorizzare i polinomi di 3° grado.
P.S.: Se metti la formula tra simboli di dollaro la tua formula viene formattata meglio
\begin{align} (t-a)^3-t+a &= t^3 -3at^2 +3a^2t - a^3 - t + a \\
&= t^3 -3at^2 +(3a^2 - 1)t - (a^3- a) \\
\end{align}
Ovviamente è utile porre \(\displaystyle a=0 \), infatti in quel caso diventa \(\displaystyle t^3 - t = t(t^2 - 1) = t(t+1)(t-1)\). A questo punto dovresti sapertela cavare.
Il caso più complicato. Una possibilità è volendo vedere se i divisori di \(\displaystyle (a^3- a) \) dividono il polinomio in stile Ruffini (sto andando a caso ovviamente*). Hai che \(\displaystyle a^3-a = a(a^2-1) = a(a+1)(a-1) \) (trovo questa simmetria con il caso \(\displaystyle a=0 \) incoraggiante).
A questo punto sostituisci e vedi che con \(\displaystyle t=a \)
\begin{align} a^3 -3aa^2 +(3a^2a - a) - (a^3- a) &= a^3 - 3a^3 + 3a^3 - a - a^3 + a = 0
\end{align}
Quindi \(\displaystyle a \) divide il nostro polinomio.
A questo punto sostituisci e vedi che con \(\displaystyle t=a+1 \)
\begin{align} & (a+1)^3 -3a(a+1)^2 +\bigl(3a^2(a+1) - (a+1)\bigr) - a^3 + a = \\
&= a^3 + 3a^2 + 3a + 1 - 3a^3 -6a^2 -3a + 3a^3 + 3a^2 -a -1 - a^3 + a = 0
\end{align}
Quindi \(\displaystyle a+1 \) divide il nostro polinomio.
A questo punto sostituisci e vedi che con \(\displaystyle t=a-1 \)
\begin{align} & (a-1)^3 -3a(a-1)^2 +\bigl(3a^2(a-1) - (a-1)\bigr) - a^3 + a = \\
&= a^3 - 3a^2 + 3a - 1 - 3a^3 +6a^2 -3a +3a^3 - 3a^2 -a +1 - a^3 + a = 0
\end{align}
E fortunatamente anche \(\displaystyle a-1 \) divide il nostro polinomio.
Perciò, con una certa dose di fortuna il tuo polinomio è \(\displaystyle (t-a)\bigl(t-(a+1)\bigr)\bigl(t-(a-1)\bigr) \). Quindi ci sono sempre 3 radici distinte.
* se non vuoi andare a caso puoi sempre guardarti la formula per fattorizzare i polinomi di 3° grado.
P.S.: Se metti la formula tra simboli di dollaro la tua formula viene formattata meglio
Graziegrazie mille.. un'altra domanda: un endomorfismo è diagonalizzabile solo se gli autovalori sono distinti? Se sì perché?
Se gli autovalori sono distinti allora hai autovettori tutti distinti e linearmente indipendenti, se fai la matrice associata a questa base è banalmente diagonale. Non è però un solo se, ci sono matrici diagonalizzabili con autovalori non tutti distinti, dipende dalla molteplicità geometrica.
Esempio banale, l'identità 
Oggi ho sentito dire dal prof che se si trova un autovalore = 0 allora la matrice non è diagonalizzabile? E' vero? la cosa un po' mi turba perchè spesso trovo polinomi caratteristici tipo $t^2(t+1)$ ... quindi o ho capito male io a lezione oppure sbaglio qualcosa con il polinomio
Hai capito male. La matrice non è invertibile ma è diagonalizzabile. Esempio banale la matrice diagonale: \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} o anche questa \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}
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