Modi Naturali Pseudoperiodici
Il professore di automatica ci ha mostrato la seguente equazione differenziale descrivente il comportamento di un sistema dinamico, di cui bisogna trovare la risposta libera (imponendo u(t)=0) :
$ y^{(3)}(t)+2y^{(2)}(t)+5y^{(1)}(t)=u(t)−3u^{(1)}(t) $ , con $ t_0=0, y(t_0)=3 , y'(t_0)=2 , y''(t_0)=1 $
I risultati forniti dal professore vedono come risposta libera del sistema la seguente:
$ 4 + {\frac{-cos(2t)-\frac{sin(2t)}{2}}{e^t}} $, con la combinazione lineare tra parentesi graffe riportata nella 2° delle 3
forme da lui indicate per la rappresentazione della combinazione lineare dei modi naturali pseudoperiodici, ovvero associati alle soluzioni complesse coniugate del polinomio caratteristico associato al sistema considerato:
1° FORMA: $ \sum_{k=0}^{\gamma_i-1}t^k \cdot (A_{l,k}\cdot e^{\lambda_l t}+\overline{A_{l,k}}\cdot e^{\overline{\lambda_l} t}) $,
con $ \gamma_i $ molteplicità algebrica delle soluzioni complesse coniugate $ \lambda_l,\overline{\lambda_l} $ e $ overline{A_{l,k}} $ coefficiente complesso coniugato di $ A_{l,k} $;
2° FORMA: $ \sum_{k=0}^{\gamma_i-1}t^k \cdot e^{Re[\lambda_l]t}[B_{l,k}\cdot cos(Im[\lambda_l]t)+C_{l,k}\cdot sin(Im[\lambda_l]t)] $,
con $ B_{l,k}=2\cdot Re[A_{l.k}] $ e $ C_{l,k}=-2\cdot Im[A_{l.k}] $;
3° FORMA: $ \sum_{k=0}^{\gamma_i-1}t^k \cdot e^{Re[\lambda_l]t} \cdot M_{l,k} \cdot cos(Im[\lambda_l]+\phi_{l,k}) $,
con $ M_{l,k}=2\cdot |A_{l,k}|=\sqrt{(B_{l,k})^2+(C_{l,k})^2} $ e $ \phi_{l,k}=tan^{-1}(\frac{Im[A_{l,k}]}{Re[A_{l,k}]}) = tan^{-1}(\frac{-C_{l,k}}{B_{l,k}}) $.
Quello che mi turba di questo esercizio, oltre al fatto che rivolvendo sia a mano sia su mathdf.com la risposta libera del sistema mi risulti essere pari $ 4 + {\frac{-cos(2t)+\frac{sin(2t)}{2}}{e^t}} $, è data dal fatto che, una volta ottenuta la risposta nella sua terza forma a partire dalla seconda utilizzando le uguaglianze sopra riportate, andando a rappresentare questa risposta nella sua 2° e 3° forma su geogebra quelle che ottengo non sono due funzioni uguali, bensì opposte.
Potrebbe trattasi di un mio errore nella risoluzione dell'esercizio, oppure le forme di rappresentazione dei modi naturali pseudoperiodici e i loro coefficienti sono riportati in maniera errata?
$ y^{(3)}(t)+2y^{(2)}(t)+5y^{(1)}(t)=u(t)−3u^{(1)}(t) $ , con $ t_0=0, y(t_0)=3 , y'(t_0)=2 , y''(t_0)=1 $
I risultati forniti dal professore vedono come risposta libera del sistema la seguente:
$ 4 + {\frac{-cos(2t)-\frac{sin(2t)}{2}}{e^t}} $, con la combinazione lineare tra parentesi graffe riportata nella 2° delle 3
forme da lui indicate per la rappresentazione della combinazione lineare dei modi naturali pseudoperiodici, ovvero associati alle soluzioni complesse coniugate del polinomio caratteristico associato al sistema considerato:
1° FORMA: $ \sum_{k=0}^{\gamma_i-1}t^k \cdot (A_{l,k}\cdot e^{\lambda_l t}+\overline{A_{l,k}}\cdot e^{\overline{\lambda_l} t}) $,
con $ \gamma_i $ molteplicità algebrica delle soluzioni complesse coniugate $ \lambda_l,\overline{\lambda_l} $ e $ overline{A_{l,k}} $ coefficiente complesso coniugato di $ A_{l,k} $;
2° FORMA: $ \sum_{k=0}^{\gamma_i-1}t^k \cdot e^{Re[\lambda_l]t}[B_{l,k}\cdot cos(Im[\lambda_l]t)+C_{l,k}\cdot sin(Im[\lambda_l]t)] $,
con $ B_{l,k}=2\cdot Re[A_{l.k}] $ e $ C_{l,k}=-2\cdot Im[A_{l.k}] $;
3° FORMA: $ \sum_{k=0}^{\gamma_i-1}t^k \cdot e^{Re[\lambda_l]t} \cdot M_{l,k} \cdot cos(Im[\lambda_l]+\phi_{l,k}) $,
con $ M_{l,k}=2\cdot |A_{l,k}|=\sqrt{(B_{l,k})^2+(C_{l,k})^2} $ e $ \phi_{l,k}=tan^{-1}(\frac{Im[A_{l,k}]}{Re[A_{l,k}]}) = tan^{-1}(\frac{-C_{l,k}}{B_{l,k}}) $.
Quello che mi turba di questo esercizio, oltre al fatto che rivolvendo sia a mano sia su mathdf.com la risposta libera del sistema mi risulti essere pari $ 4 + {\frac{-cos(2t)+\frac{sin(2t)}{2}}{e^t}} $, è data dal fatto che, una volta ottenuta la risposta nella sua terza forma a partire dalla seconda utilizzando le uguaglianze sopra riportate, andando a rappresentare questa risposta nella sua 2° e 3° forma su geogebra quelle che ottengo non sono due funzioni uguali, bensì opposte.
Potrebbe trattasi di un mio errore nella risoluzione dell'esercizio, oppure le forme di rappresentazione dei modi naturali pseudoperiodici e i loro coefficienti sono riportati in maniera errata?
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