Misure vettoriali e variazione totale
Fissiamo prima la nomenclatura. Sia $\Omega \subset RR^n$, $A$ sia una $\sigma-$algebra di sottoinsiemi di $\Omega$ e sia $1 \leq M \in NN$. Allora definiamo misura (vettoriale, reale) una funzione:
$ \mu : A \rightarrow RR^M $
tale che:
1. $\mu(\emptyset)=0$
2. Per ogni successione di elementi $\{ E_h\}_{h\in NN} \subset A$ a due a due disgiunti si abbia:
$ \mu(\bigcup_{h=0}^{\infty} E_h )= \sum_{h=0}^\infty \mu(E_h)$
definiamo inoltre variazione totale di $\mu$ la misura positiva (a valori in $[0,\infty]$) $|\mu|$ che per ogni $E \in A$ assume il valore:
$ |\mu|(E)= \text{sup} \{ \sum_{h=0}^{\infty} |\mu(E_h)| : E = \bigcup_{h=0}^{\infty} E_h, E_h \text{ a due a due disgiunti.} \} $
dove il $\text{sup}$ è preso al variare di tutte le partizioni numerabili di $E$ in $A$.
Ora dovrebbe valere il seguente teorema:
Th. Se $\mu$ è una misura, allora $|\mu|$ è una misura positiva e $|\mu|(\Omega) < +\infty$.
Allora che $|\mu|$ sia una misura positiva non è difficile dimostrarlo, ma che sia una misura finita mi sembra un po' incredibile: non solo non riesco a dimostrarlo, ma non mi sembra neppure vero! Non capisco chi mi impedisce di prendere, ad esempio, la misura di Lebesgue su $RR$ (intendendo dire $RR$ con la giusta $\sigma-$algebra) e prenderne la variazione totale, che viene a coincidere con la misura di Lebesgue per via dell'additività numeriabile e che, quindi, non si sogna minimamente di essere finita... Eppure mi è stato dato questo teorema come assolutamente vero...
Qualche idea/suggerimento?
$ \mu : A \rightarrow RR^M $
tale che:
1. $\mu(\emptyset)=0$
2. Per ogni successione di elementi $\{ E_h\}_{h\in NN} \subset A$ a due a due disgiunti si abbia:
$ \mu(\bigcup_{h=0}^{\infty} E_h )= \sum_{h=0}^\infty \mu(E_h)$
definiamo inoltre variazione totale di $\mu$ la misura positiva (a valori in $[0,\infty]$) $|\mu|$ che per ogni $E \in A$ assume il valore:
$ |\mu|(E)= \text{sup} \{ \sum_{h=0}^{\infty} |\mu(E_h)| : E = \bigcup_{h=0}^{\infty} E_h, E_h \text{ a due a due disgiunti.} \} $
dove il $\text{sup}$ è preso al variare di tutte le partizioni numerabili di $E$ in $A$.
Ora dovrebbe valere il seguente teorema:
Th. Se $\mu$ è una misura, allora $|\mu|$ è una misura positiva e $|\mu|(\Omega) < +\infty$.
Allora che $|\mu|$ sia una misura positiva non è difficile dimostrarlo, ma che sia una misura finita mi sembra un po' incredibile: non solo non riesco a dimostrarlo, ma non mi sembra neppure vero! Non capisco chi mi impedisce di prendere, ad esempio, la misura di Lebesgue su $RR$ (intendendo dire $RR$ con la giusta $\sigma-$algebra) e prenderne la variazione totale, che viene a coincidere con la misura di Lebesgue per via dell'additività numeriabile e che, quindi, non si sogna minimamente di essere finita... Eppure mi è stato dato questo teorema come assolutamente vero...
Qualche idea/suggerimento?
Risposte
Mi sa che hai saltato una proprietà della misura: ossia c'è da richiedere che la serie a secondo membro della tua 2. sia convergente in norma per ogni successione di misurabili disgiunti! (Questo distingue le misure vettoriali da quelle scalari; vedi qui.)
Leggiti Rudin, Analisi Reale e Complessa, cap. 6 ("Misure Complesse"), parr. 6.1-6.4 (in particolare ti dovrebbero interessare lemma 6.3 ed il teorema 6.4).
Si parla di misure a valori in $CC$ e si definisce la misura variazione totale per tali misure: per riportare tutto in $RR^n$ ti basta trovare opportuni valori numerici per le varie costanti (ed a una prima lettura non mi pare difficile).
Diciamo $(Omega, ccM, mu)$ lo spazio di misura. Il trucco sta nel far vedere che per ogni $E in ccM$ con $|mu|(E)=+oo$ esistono $A,B in ccM$ tali che $E=A cup B, Acap B=\emptyset, |mu(A)|ge 1$ e $|mu|(B)=+oo$.
Fatto ciò, se per assurdo $|mu|(Omega)=+oo$, ponendo $B_0=Omega$ ed usando induttivamente quanto provato in precedenza puoi determinare due successioni di insiemi misurabili $(A_n),(B_n) subseteq ccM$ tali che: $AA n ge 1$,
1) $quad B_(n-1)=A_n cup B_n$;
2) $quad A_n cap B_n=\emptyset$;
3) $|mu(A_n)|ge 1 quad$ e $quad |mu|(B_n)=+oo$;
posto $C=bigcup_(n ge 1)A_n$ e constatato che $A_n cap A_(n+1)=\emptyset$, per additività numerabile hai $mu(C)=\sum_(n=1)^(+oo)mu(A_n)$: tale serie non può essere convergente perche la successione di termine generale $|mu(A_n)|$ non è infinitesima, contro il fatto che $C in ccM$ e quindi, per la stessa definizione di $mu$ (vedi quanto detto all'inizio del post), la serie $\sum |mu(A_n)|$ ha da convergere in $RR$.
Questo assurdo ci porta a concludere che $|mu|(Omega)<+oo$ come volevamo.
Spero d'essere stato utile.
Leggiti Rudin, Analisi Reale e Complessa, cap. 6 ("Misure Complesse"), parr. 6.1-6.4 (in particolare ti dovrebbero interessare lemma 6.3 ed il teorema 6.4).
Si parla di misure a valori in $CC$ e si definisce la misura variazione totale per tali misure: per riportare tutto in $RR^n$ ti basta trovare opportuni valori numerici per le varie costanti (ed a una prima lettura non mi pare difficile).
Diciamo $(Omega, ccM, mu)$ lo spazio di misura. Il trucco sta nel far vedere che per ogni $E in ccM$ con $|mu|(E)=+oo$ esistono $A,B in ccM$ tali che $E=A cup B, Acap B=\emptyset, |mu(A)|ge 1$ e $|mu|(B)=+oo$.
Fatto ciò, se per assurdo $|mu|(Omega)=+oo$, ponendo $B_0=Omega$ ed usando induttivamente quanto provato in precedenza puoi determinare due successioni di insiemi misurabili $(A_n),(B_n) subseteq ccM$ tali che: $AA n ge 1$,
1) $quad B_(n-1)=A_n cup B_n$;
2) $quad A_n cap B_n=\emptyset$;
3) $|mu(A_n)|ge 1 quad$ e $quad |mu|(B_n)=+oo$;
posto $C=bigcup_(n ge 1)A_n$ e constatato che $A_n cap A_(n+1)=\emptyset$, per additività numerabile hai $mu(C)=\sum_(n=1)^(+oo)mu(A_n)$: tale serie non può essere convergente perche la successione di termine generale $|mu(A_n)|$ non è infinitesima, contro il fatto che $C in ccM$ e quindi, per la stessa definizione di $mu$ (vedi quanto detto all'inizio del post), la serie $\sum |mu(A_n)|$ ha da convergere in $RR$.
Questo assurdo ci porta a concludere che $|mu|(Omega)<+oo$ come volevamo.
Spero d'essere stato utile.
Non mi sembra che serva la convergenza in norma, bastano le condizioni date da david_e per far funzionare la dimostrazione. L'idea è appunto costruire una successione di insiemi misurabili disgiunti $E_h$ con $|\mu(E_h)|>1$, per cui la serie $\sum \mu(E_h)$ non può convergere.
"Luca.Lussardi":
Non mi sembra che serva la convergenza in norma, bastano le condizioni date da david_e per far funzionare la dimostrazione. L'idea è appunto costruire una successione di insiemi misurabili disgiunti $E_h$ con $|\mu(E_h)|>1$, per cui la serie $\sum \mu(E_h)$ non può convergere.
La richiesta di convergenza l'avevo "adattata al caso in esame" da Rudin e poi ho trovato conferma su questo articolo di wikipedia(en), come già detto... Ed è vero, basta che la serie non sia convergente (solo ora mi accorgo che la scrittura di david_e presupponeva la convergenza in $RR^n$ della serie a secondo membro di 2.).
Però rimane la differenza tra convergenza semplice e convergenza in norma della serie di vettori (o equivalentemente delle loro componenti)... Dico la mia su questo punto.
La convergenza in norma serve a garantire che, comunque si riordini la successione disgiunta di misurabili $(A_n)$, la misura di $bigcup_(n in NN) A_n$ sia sempre la stessa: infatti le uniche serie incondizionatamente convergenti sono quelle convergenti in norma; quindi affinchè $mu(bigcup_(n in NN) A_n)=mu(bigcup_(n in NN) A_(sigma(n)))=\sum_(n in NN) mu(A_(sigma(n)))$, ove $sigma: NN to NN$ è una qualunque permutazione d'indici, bisogna richiedere la convergenza in norma di $\sum mu(A_n)$.
Insomma la convergenza in norma di $\sum_(n=1)^(+oo) mu(A_n)$ serve a garantire che $mu(bigcup_(n in NN) A_n)$ sia ben definita (ovvero che non dipenda dalla scomposizione di $bigcup_(n in NN) A_n$).
Sbaglio?
Vi ringrazio molto per le risposte, tuttavia mi sono accorto di aver mal interpretato il teorema che ho proposto: si richiede che $\mu$ sia una misura, nel senso che ho indicato io prima, escludendo la possibilità che $\mu$ sia una misura positiva (quindi che può assumere il valore $+\infty$). Questo esclude la possibilità di usare la misura di Lebesgue su $RR$, che non è una misura vettoriale (nel senso che assume il valore $+\infty$), come controesempio.
Per il resto è vero che occorre la convergenza in norma della serie $\sum_{h=0}^{\infty}\mu(E_h)$, ma questa condizione è insita nella condizione 2.: altrimenti la formula 2. non ha senso visto che l'unione degli $E_h$ non può dipendere dall'ordine con cui faccio l'unione.
Fatte queste precisazioni la dimostrazione è proprio quella: costruire una successione di disgiunti di misura strettamente maggiore di $1$.... irrealtà avevo già letto quella dimostrazione, ma mi sembrava completamente campata in aria proprio perché io ingenuamente avevo messo le misure positive assieme alle misure vettoriali, mentre è necessario presumere sempre che $|\mu(E)|<\infty$ per ogni $E$ nella $\sigma-$algebra.
Già che ci sono vorrei chiedervi di consigliarmi un testo in cui vengano trattate un po' più diffusamente le misure vettoriali, le funzioni BV e le SBV e magari un po' di teoria su questioni geometriche come le frontiere ridotte/essenziali... ho questi appunti scritti a mano del mio Prof. su questi argomenti, ma sono molto molto sintetici e rischio anche di mal interpretarli...
Per il resto è vero che occorre la convergenza in norma della serie $\sum_{h=0}^{\infty}\mu(E_h)$, ma questa condizione è insita nella condizione 2.: altrimenti la formula 2. non ha senso visto che l'unione degli $E_h$ non può dipendere dall'ordine con cui faccio l'unione.
Fatte queste precisazioni la dimostrazione è proprio quella: costruire una successione di disgiunti di misura strettamente maggiore di $1$.... irrealtà avevo già letto quella dimostrazione, ma mi sembrava completamente campata in aria proprio perché io ingenuamente avevo messo le misure positive assieme alle misure vettoriali, mentre è necessario presumere sempre che $|\mu(E)|<\infty$ per ogni $E$ nella $\sigma-$algebra.
Già che ci sono vorrei chiedervi di consigliarmi un testo in cui vengano trattate un po' più diffusamente le misure vettoriali, le funzioni BV e le SBV e magari un po' di teoria su questioni geometriche come le frontiere ridotte/essenziali... ho questi appunti scritti a mano del mio Prof. su questi argomenti, ma sono molto molto sintetici e rischio anche di mal interpretarli...
Il principale libro di riferimento è l'Ambrosio-Fusco-Pallara, Functions of bounded variation and free discontinuity problems, ma si tratta di un libro molto difficile, però completo.
Io consiglierei invece Diestel & Uhl, Vector measures.
Non l'ho mai sentito, non credo che si tratti di un libro che risponda a quello che chiedeva david_e. La mia ricerca è esattamente sulle funzioni a variazioni limitata, e il libro che ho riferito è il principale riferimento per chi fa queste cose, anche se è molto avanzato.
"Luca.Lussardi":
Non l'ho mai sentito, non credo che si tratti di un libro che risponda a quello che chiedeva david_e. La mia ricerca è esattamente sulle funzioni a variazioni limitata, e il libro che ho riferito è il principale riferimento per chi fa queste cose, anche se è molto avanzato.
Lo so, ma come dici anche tu quello da te consigliato è un testo troppo specializzato. Invece quello che ho indicato io è di carattere più didattico. Perché poi non dovrebbe andar bene?
Non l'ho mai sentito, solo per questo non lo consiglio. Siccome ci lavoro in queste cose so che testi si usano per questi argomenti. L'AFP è sì avanzato ma si può leggere, non è impossibile, non è come il celebre Federer, Geometric Measure Theory, assolutamente incomprensibile...
Grazie mille per i consigli... penso che andrò sull'AFP, anche perché mi piace leggere libri avanzati: nel leggerlo posso comunque ricadere in cascata sul Rudin o su altri ogni qual volta non capisco qualche cosa e magari mi tengo di fianco anche il Diestel & Uhl.... gradisco molto di più uno studio "a salti" che una lettura da copertina a copertina di un libro, quando si tratta di farsi un'idea generale sull'argomento in questione (una conoscenza molto dettagliata di queste cose per ora non mi occorre e non ho il tempo...).
Del Falconer ho già letto qualche cosa: "Fractal Geometry", il capitolo sugli insiemi di Julia e Mandelbrot e devo dire che ha uno stile veramente pesante: è anche più sintetico del Rudin nel tracciare le dimostrazioni e sono riuscito a capirlo solo perché gli argomenti sono molto semplici: solo applicazioni del Teorema di Montel e del Teorema della Contrazioni...
Del Falconer ho già letto qualche cosa: "Fractal Geometry", il capitolo sugli insiemi di Julia e Mandelbrot e devo dire che ha uno stile veramente pesante: è anche più sintetico del Rudin nel tracciare le dimostrazioni e sono riuscito a capirlo solo perché gli argomenti sono molto semplici: solo applicazioni del Teorema di Montel e del Teorema della Contrazioni...
"david_e":
Del Falconer ho già letto qualche cosa: "Fractal Geometry", il capitolo sugli insiemi di Julia e Mandelbrot e devo dire che ha uno stile veramente pesante: è anche più sintetico del Rudin nel tracciare le dimostrazioni e sono riuscito a capirlo solo perché gli argomenti sono molto semplici: solo applicazioni del Teorema di Montel e del Teorema della Contrazioni...
Veramente non credo siano la stessa persona...
Forse lo confondi con Federer, che dicevo io... quello te lo sconsiglio vivamente.
"Chevtchenko":
[quote="david_e"]Del Falconer ho già letto qualche cosa: "Fractal Geometry", il capitolo sugli insiemi di Julia e Mandelbrot e devo dire che ha uno stile veramente pesante: è anche più sintetico del Rudin nel tracciare le dimostrazioni e sono riuscito a capirlo solo perché gli argomenti sono molto semplici: solo applicazioni del Teorema di Montel e del Teorema della Contrazioni...
Veramente non credo siano la stessa persona...
[/quote]lol. è un po' di giorni che leggo Roma per toma sul forum (e anche sulle dispense del prof.)...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo