Minori principali e polinomio caratteristico
devo calcolare il polinomio caratteristico di questa:
$((0, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 1), (1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 0))$
con il determinante di aI-A mi viene giustamente: $a^4-a^3-2 a^2$
solo che mi ci sono volute molte moltiplicazioni per farlo, allora volevo provare con il criterio dei minori principali,
il mio problema è che non so bene cosa siano i minori principali
ad esempio i minori principali di ordine 3 sono:
a =$((0,1,0),(1,0,0),(1,0,1))$
b =$((0,0,1),(0,1,0),(1,0,1))$
questi sono sucuramente due minori di ordine 3,
in qunato io so che il termine di terzo grado del polinomio caratteristico è :
$-z a^3$
dove z è la somma dei minori principali di ordine 3
se io faccio:
$det(a)+ det(b) = -1 -1 = -2
ma il mio polinomio è : $a^4-a^3-2 a^2$
quindi il mio z dovrebbe essere +1
grazie
aggiunta:
questi due sono minori principali?
questo
0, 1, 0, 1
1, 0, 0, 1
1, 0, 1, 0
0, 1, 1, 0
e quest'altro?
0, 1, 0, 1
1, 0, 0, 1
1, 0, 1, 0
0, 1, 1, 0
$((0, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 1), (1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 0))$
con il determinante di aI-A mi viene giustamente: $a^4-a^3-2 a^2$
solo che mi ci sono volute molte moltiplicazioni per farlo, allora volevo provare con il criterio dei minori principali,
il mio problema è che non so bene cosa siano i minori principali
ad esempio i minori principali di ordine 3 sono:
a =$((0,1,0),(1,0,0),(1,0,1))$
b =$((0,0,1),(0,1,0),(1,0,1))$
questi sono sucuramente due minori di ordine 3,
in qunato io so che il termine di terzo grado del polinomio caratteristico è :
$-z a^3$
dove z è la somma dei minori principali di ordine 3
se io faccio:
$det(a)+ det(b) = -1 -1 = -2
ma il mio polinomio è : $a^4-a^3-2 a^2$
quindi il mio z dovrebbe essere +1
grazie
aggiunta:
questi due sono minori principali?
questo
0, 1, 0, 1
1, 0, 0, 1
1, 0, 1, 0
0, 1, 1, 0
e quest'altro?
0, 1, 0, 1
1, 0, 0, 1
1, 0, 1, 0
0, 1, 1, 0
Risposte
Credo (ma non ci metterei la mano sul fuoco) che i minori di una matrice quadrata A di ordine n siano quelle matrici quadrate di ordine n-1 ottenute da A avendo eliminato esattamente una riga e una colonna di A.
In particolare, un minore identifica una 'posizione' (i,j) di A, e precisamente l'intersezione di riga e colonna considerate. Se chiamiamo $A_{ij}$ il minore corrispondente alla posizione (i,j) allora, fissato $j in {1,...,n}$ (per esempio j=1) il determinante di A (se n>1) vale
$det(A)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} det(A_{ij}).$
Forse a volte per 'minore' si intendono tutte le matrici ottenibili eliminando k righe e k colonne per un certo k
In particolare, un minore identifica una 'posizione' (i,j) di A, e precisamente l'intersezione di riga e colonna considerate. Se chiamiamo $A_{ij}$ il minore corrispondente alla posizione (i,j) allora, fissato $j in {1,...,n}$ (per esempio j=1) il determinante di A (se n>1) vale
$det(A)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} det(A_{ij}).$
Forse a volte per 'minore' si intendono tutte le matrici ottenibili eliminando k righe e k colonne per un certo k
io chiamo compelmento algebrico la tua definizione
i minori di ordine n di cui parlano i miei professori sono quelli che hanno la diagonale principale sulla diagonale principale della amtrice A, solo che non ne sono sicurissimo, sto cercando in tutti i libri ma non trovo da nessuna parte la definizione
i minori di ordine n di cui parlano i miei professori sono quelli che hanno la diagonale principale sulla diagonale principale della amtrice A, solo che non ne sono sicurissimo, sto cercando in tutti i libri ma non trovo da nessuna parte la definizione
http://it.wikipedia.org/wiki/Polinomio_caratteristico
qui c'è scirtto
" In generale, il coefficiente di xk del polinomio è la somma moltiplicata per ( − 1)k dei {n\choose k} determinanti dei minori (n-k)\times (n-k) "centrati" sulla diagonale."
è questo che intenco e che non capisco, non so come trovare i mori principali, ovvero alcuni li trovo ma altri no
qui c'è scirtto
" In generale, il coefficiente di xk del polinomio è la somma moltiplicata per ( − 1)k dei {n\choose k} determinanti dei minori (n-k)\times (n-k) "centrati" sulla diagonale."
è questo che intenco e che non capisco, non so come trovare i mori principali, ovvero alcuni li trovo ma altri no
"Martino":
In particolare, un minore identifica una 'posizione' (i,j) di A, e precisamente l'intersezione di riga e colonna considerate. Se chiamiamo $A_{ij}$ il minore corrispondente alla posizione (i,j) allora, fissato $j in {1,...,n}$ (per esempio j=1) il determinante di A (se n>1) vale
$det(A)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} det(A_{ij}).$
.
ho appena letto sul libro di Renato Betti, che minori principali e complementi algebrici sono la stessa cosa, ottimo, ora credo come aver capito a calcolare il polnomio caratteristico in un quinto del tempo, adesso faccio delel prove, senza il tuo intervento non ci sarei arrivato mai a collegare minori principali e compelmento algebrico.
grazie
Quello che hai scritto tu è la formula di Laplace, che si usa di solito.
Un altro metodo è ridurre la matrice a forma triangolare superiore (o inferiore) e poi fare il determinante semplicemente moltiplicando i valori sulla diagonale. Occhio che se dividi una riga allora per il determinante devi moltiplicare per lo stesso fattore che hai diviso (se scambi una riga allora devi moltiplicare per -1).
Ciao.
Un altro metodo è ridurre la matrice a forma triangolare superiore (o inferiore) e poi fare il determinante semplicemente moltiplicando i valori sulla diagonale. Occhio che se dividi una riga allora per il determinante devi moltiplicare per lo stesso fattore che hai diviso (se scambi una riga allora devi moltiplicare per -1).
Ciao.
"nirvana":
Quello che hai scritto tu è la formula di Laplace, che si usa di solito.
Un altro metodo è ridurre la matrice a forma triangolare superiore (o inferiore) e poi fare il determinante semplicemente moltiplicando i valori sulla diagonale. Occhio che se dividi una riga allora per il determinante devi moltiplicare per lo stesso fattore che hai diviso (se scambi una riga allora devi moltiplicare per -1).
Ciao.
sapevo che se scambio due righe il determinante cambia sengo. quella della divizione non l'ho mai usata, ma è interessante, parecchio, può risultare molto utile, grazie.
"df":
senza il tuo intervento non ci sarei arrivato mai a collegare minori principali e compelmento algebrico.
In realtà avevo anch'io parecchia confusione in testa tra definizioni di minori principali e non, complementi algebrici e similia, quindi è stato quasi un caso che ti abbia risposto in modo utile.
Lieto di averti aiutato, comunque
Cià.
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