Minori principali

[Usernamer1]

data la seguente matrice: $ det( ( 6 , 0 , -2 ),( 0 , 4 , 0 ),( -2 , 0 , 2 ) ) $ si può vedere che è definita positiva usando i minori principali:
$ det(6)=6>0 $
$ det((6,0),(0,4))=24>0 $
$ det( ( 6 , 0 , -2 ),( 0 , 4 , 0 ),( -2 , 0 , 2 ) )=32>0 $

Qualcuno mi spiega perché? L'unica ragione che mi può venire in mente è che ogni minore abbia tra i suoi autovalori tutti gli autovalori dei minori di ordine inferiore, in questo caso avremmo che siccome:
6 (autovalore del primo minbore) è positivo, e 24 (prodotto di due autovalori di cui uno positivo) è positivo allora anche il secondo autovalore è positivo.
32 per lo stesso discorso è positivo ed è prodotto di due numeri positivi per il terzo autovalore che deve quindi essere positivo.

Confermate che un minore ha come autovalori anche tutti gli autovalori di minori di ordine inferiore?
In caso contrario il mio ragionamento salta, quindi qualcuno può spiegarmi perché si può concludere che la matrice è positiva vedendo i determinanti dei tre minori principali?
grazie mille

[Pappappero1]

Non e' cosi' semplice.

Prendi ad esempio la matrice
\[
\left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2\end{array} \right)
\]
E' definita positiva, i minori principali sono $2$ e l'intera matrice, ma $2$ non e' un autovalore.

La questione e' piu' complicata. Qui trovi una dimostrazione.

[salfor76]

usa la regola di Sarrus per calcolare il determinante delle matrici....