Minkowski e Schwarz: dimostrazioni poco chiare
E' arrivato il rognoso momento di imparare le dimostrazioni del programma del fatidico esame di Algebra Lineare. Prendo le mie belle dimostrazioni, riscritte in bella copia,e comincio il mio lavoro,riuscendo anche bene.
Minkowski e Schwarz invece mi hanno dato problemi,e vi spiego perchè: il mio professore ha dato la sua bella dimostrazione, commentandola a lezione. Non riesco a ricordare i suoi commenti, e non decifro il meccanismo logico dietro la dimostrazione. Ho cercato su internet una eventuale spiegazione, ma non è servito, perchè le dimostrazioni sono fatte utilizzando altri metodi, mentre il mio professore ovviamente vuole che impari il suo.
Non voglio imparare a memoria,ma capire, per questo vi allego le sue dimostrazioni sperando che qualcuno di voi faccia luce ai miei dubbi e mi spieghi i passaggi da cui è composta.
Buone feste, fratelli matematici!
P.s. Le lascio come link,perchè altrimenti me le taglia
http://i67.tinypic.com/2yzbr6c.jpg
http://i67.tinypic.com/x3by42.jpg
Minkowski e Schwarz invece mi hanno dato problemi,e vi spiego perchè: il mio professore ha dato la sua bella dimostrazione, commentandola a lezione. Non riesco a ricordare i suoi commenti, e non decifro il meccanismo logico dietro la dimostrazione. Ho cercato su internet una eventuale spiegazione, ma non è servito, perchè le dimostrazioni sono fatte utilizzando altri metodi, mentre il mio professore ovviamente vuole che impari il suo.
Non voglio imparare a memoria,ma capire, per questo vi allego le sue dimostrazioni sperando che qualcuno di voi faccia luce ai miei dubbi e mi spieghi i passaggi da cui è composta.
Buone feste, fratelli matematici!
P.s. Le lascio come link,perchè altrimenti me le taglia
http://i67.tinypic.com/2yzbr6c.jpg
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Risposte
Partiamo dalla prima: quali passaggi non ti sono chiari?
Allora, in Minkowski, capisco lo sviluppo del quadrato ma poi, a che pro moltiplicare il modulo di v per 2? Parlo subito dopo del primo ≤
In realtà quel 2 non dovrebbe esserci, è un errore. Togli il 2 e la dimostrazione fila 
Ma poi, tolto quel due OK. Al primo rigo é +2g(u, v) oppure 2g(u+v)? Non capisco.. Per questo chiedevo il ragionamento dietro i passaggi, poi in caso di errori di copiatura me ne sarei accorta da sola
Parti dalla definizione di norma al quadrato come prodotto scalare (suppongo che tu stia lavorando su $RR^n$)
$ || u + v ||^{2} = (u + v, u + v)$
poi applichi le proprietà di linearità del prodotto scalare
$ = (u, u+v) + (v, u+v) = (u,u) + (u,v) + (v,u) + (v,v) $
dove riconosci la definizione di norma al quadrato sia di $u$ che di $v$
$ = ||u||^2 + (u,v) + (v,u) + ||v||^2 $
applichi poi la simmetria del prodotto scalare $(u,v) = (v,u)$ (e quindi puoi sommare i due termini con $u$ e $v$, che risultano uguali)
$ = ||u||^2 + 2*(u,v) + ||v||^2 $
ricordando la disuguaglianza di cauchy schwarz per il prodotto scalare:
$ (u,v)^2 \leq (u,u)(v,v)$ ovvero $ (u,v) \leq \sqrt{(u,u)}\sqrt{(v,v)} = ||u|| * ||v||$
da cui ottieni
$ \leq ||u||^2 + 2*||u||*||v|| + ||v||^2 = (||u|| + ||v||)^2$
e quindi infine hai, riprendendo la norma da cui siamo partiti
$ || u + v ||^{2} \leq (||u|| + ||v||)^2$
ovvero
$ || u + v || \leq ||u|| + ||v||$
$ || u + v ||^{2} = (u + v, u + v)$
poi applichi le proprietà di linearità del prodotto scalare
$ = (u, u+v) + (v, u+v) = (u,u) + (u,v) + (v,u) + (v,v) $
dove riconosci la definizione di norma al quadrato sia di $u$ che di $v$
$ = ||u||^2 + (u,v) + (v,u) + ||v||^2 $
applichi poi la simmetria del prodotto scalare $(u,v) = (v,u)$ (e quindi puoi sommare i due termini con $u$ e $v$, che risultano uguali)
$ = ||u||^2 + 2*(u,v) + ||v||^2 $
ricordando la disuguaglianza di cauchy schwarz per il prodotto scalare:
$ (u,v)^2 \leq (u,u)(v,v)$ ovvero $ (u,v) \leq \sqrt{(u,u)}\sqrt{(v,v)} = ||u|| * ||v||$
da cui ottieni
$ \leq ||u||^2 + 2*||u||*||v|| + ||v||^2 = (||u|| + ||v||)^2$
e quindi infine hai, riprendendo la norma da cui siamo partiti
$ || u + v ||^{2} \leq (||u|| + ||v||)^2$
ovvero
$ || u + v || \leq ||u|| + ||v||$
Sul libro "Cauchy-Schwarz Master Class" di Steele queste disuguaglianze classiche sono spiegate molto bene e vengono dati tutti i dettagli dell'idea delle dimostrazioni.
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